Grenseverdier, forklaring

[Charlatan]

Jeg ble litt forvirret her...

En oppgave spør:

a) Vi har fått oppgitt at [tex]\lim_{x \to 2} f(x) = 3[/tex]

Må da nødvendigvis f være definert i x=2
Nei sier jeg, og det er riktig.

Hvis f er definert i x=2, må da f(2) = 3
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvis grenseverdien [tex]\lim_{x \to 2}[/tex] blir 3, og f er definert i x=2 hvorfor blir ikke f(2) = 3 da?

b) g(2) = 3
må da [tex]\lim_{x \to 2} g(x)[/tex] eksistere?
Ja sier jeg, men svaret er nei, hva er grunnen?

Hvis grenseverdien eksisterer, må da [tex]\lim_{x \to 2} = 3[/tex]?
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvorfor?

En ting: En graf er vel ikke definert i et punkt hvis ikke grafen er kontinuerlig i punktet?

[sEirik]

Hvis f er definert i x=2, må da f(2) = 3
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvis grenseverdien \lim_{x \to 2} blir 3, og f er definert i x=2 hvorfor blir ikke f(2) = 3 da?

Dette har med definisjon av grenseverdier å gjøre, og er ikke helt enkelt å redegjøre for hvis du kun har videregående-"definisjoner" av grenseverdier innabords.
Et "enkelt" eksempel er funksjonen
[tex]f(x) = \frac{3x - 6}{x-2} = 3[/tex] hvis [tex]x \not = 2[/tex]
[tex]f(x) = 42[/tex] hvis [tex]x = 2[/tex]

(Her går man aktivt inn og definerer funksjonsverdien for x = 2 siden den ikke dekkes av den første definisjonen.)

Intuitivt kan du tenke deg at f(x) da blir en konstant funksjon y = 3 for hele definisjonsmengden, bortsett fra i punktet x = 2, der y = 42. Husk at så lenge du nå nærmer deg x = 2, vil funksjonsverdien hele tiden være 3, altså er grenseverdien 3.

b) g(2) = 3
må da \lim_{x \to 2} g(x) eksistere?
Ja sier jeg, men svaret er nei, hva er grunnen?

Her er også svaret nei. Tenk deg at funksjonen er definert slik:

[tex]g(x) = \frac{1}{x - 2}[/tex] hvis [tex]x \not = 2[/tex]

[tex]g(x) = 3[/tex] hvis [tex]x = 2[/tex]

Du ser at g(x) går mot enten uendelig eller minus uendelig (avhengig av hvilken vei du nærmer deg fra), mens funksjonsverdien i x = 2 er veldefinert.

Hvis grenseverdien eksisterer, må da \lim_{x \to 2} = 3?
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvorfor?

Litt det samme som tidligere. Du kan alltids definere en konstant funksjon som er lik 5 bortsett fra i x = 2, der g(2) = 3. Da er grenseverdien fortsatt 5.

En ting: En graf er vel ikke definert i et punkt hvis ikke grafen er kontinuerlig i punktet?

En graf er definert i et punkt selv om den ikke er kontinuerlig i punktet. En "graf" er egentlig bare et synonym for "funksjon".





Litt av problemet med grenseverdier og kontinuitet på videregående er at man bygger på intuisjonen for å forstå og kunne jobbe med dem. Men faktum er at når det gjelder grenseverdier og kontinuitet så kommer intuisjonen ofte til kort. Derfor er det bedre å bare lære seg definisjonene med en gang, hvis du er interessert.

[Charlatan]

Okey, tusen takk. Nå forstår jeg det. Hadde ikke tenkt at det fantes slike funksjoner (som jeg vet er det samme som grafer ) at grenseverdien er noe annet enn funksjonsverdien.

Men i et eksempel lurer jeg litt:

[tex]g(x) = \frac{1}{x-2}[/tex] hvis [tex]x \not = 2[/tex]

[tex]g(x) = 3[/tex] [tex]x = 2[/tex]

Hva mener du her? g(x) er ikke 3, når x = 2, men du sier den er veldefinert i x=2

[KjetilEn]

Det er fordi han har definert funksjonen

[tex]g(x)=\left\{ \text{\frac{1}{x-2} \ for \ x \not = 2\\ 3 \ for \ x=2} \right.[/tex]

[KjetilEn]

Tegn funksjonen [tex]\frac{1}{x-2}[/tex] inn på kalkulatoren din.

Hvis vi nærmer oss 2 nedenfra går g(x) mot - [symbol:uendelig]
Hvis vi nærmer oss 2 ovenfra går g(x) mot [symbol:uendelig]

Da eksister ikke grensen [tex]\lim_{x \to 2} g(x)[/tex] selv om funksjonen er definert i g(2).

[Magnus]

"There's a delta for every epsilon" Tom Lehrers sang:
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0 ... ed&search=

02:41 .. Men anbefaler å se hele.

[Charlatan]

Tegn funksjonen [tex]\frac{1}{x-2}[/tex] inn på kalkulatoren din.

Hvis vi nærmer oss 2 nedenfra går g(x) mot - [symbol:uendelig]
Hvis vi nærmer oss 2 ovenfra går g(x) mot [symbol:uendelig]

Da eksister ikke grensen [tex]\lim_{x \to 2} g(x)[/tex] selv om funksjonen er definert i g(2).

Jeg vet det, men jeg forstod ikke at det var noen naturlig grunn til at funksjonen er 3, når x = 2.. Men hvis det går an å bare definere en funksjon slik så går det jo an..