Hei, sitter og koser meg litt med matte idag og endte opp med dette problemet:
Determine the coefficients of x^-1 and x^-2 in the expansion of (x+x^-1)^9.
Klarer x^-1, men sliter verre på x^-2 hvor jeg finner det til å bli en ikke-integer...
Binomialformelen og bruk av den...
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Bruker koefisient trekanten:
[tex]\text{0 1}[/tex]
[tex]\text{1 1 1}[/tex]
[tex]\text{2 1 2 1}[/tex]
[tex]\text{3 1 3 3 1}[/tex]
[tex]\text{- [...]}[/tex]
[tex]\text{9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1}[/tex]
[tex](a+b)^9=1a^9b^0+9a^8b^1+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4+126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9a^1b^8+1a^0b^9[/tex]
[tex]=a^9+9a^8b+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4+126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9ab^8+b^9[/tex]
Så for å finne hvilket ledd som gjelder [tex]x^{-2}[/tex]. Setter inn for a og b.
[tex]x^{-2} = (x)^{9-n}(x^{-1})^n[/tex]
[tex]x^{-2} = (x)^{9-n}(x^{-n})[/tex]
[tex]x^{-2} = x^{9-n-n}[/tex]
[tex]x^{-2} = x^{9-2n}[/tex]
-2 = 9-2n
n=11/2
Siden n ikke er et heltall vil den aldri forkeomme.
Altså koefisienten til x^-2 er 0.
(men så er jeg utrolig dårlig på potenser. Noen som kommer på noe bedre?)
[tex]\text{0 1}[/tex]
[tex]\text{1 1 1}[/tex]
[tex]\text{2 1 2 1}[/tex]
[tex]\text{3 1 3 3 1}[/tex]
[tex]\text{- [...]}[/tex]
[tex]\text{9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1}[/tex]
[tex](a+b)^9=1a^9b^0+9a^8b^1+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4+126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9a^1b^8+1a^0b^9[/tex]
[tex]=a^9+9a^8b+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4+126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9ab^8+b^9[/tex]
Så for å finne hvilket ledd som gjelder [tex]x^{-2}[/tex]. Setter inn for a og b.
[tex]x^{-2} = (x)^{9-n}(x^{-1})^n[/tex]
[tex]x^{-2} = (x)^{9-n}(x^{-n})[/tex]
[tex]x^{-2} = x^{9-n-n}[/tex]
[tex]x^{-2} = x^{9-2n}[/tex]
-2 = 9-2n
n=11/2
Siden n ikke er et heltall vil den aldri forkeomme.
Altså koefisienten til x^-2 er 0.
(men så er jeg utrolig dårlig på potenser. Noen som kommer på noe bedre?)
Takk for oppklaringa!