Tredjegradsfunksjon

[sEirik]

Henta fra forberedelsesdelen til 2MX-eksamen.

Teorem
Dersom vi har en tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter, vil tangenten til det punktet på grafen som har en x-verdi som ligger midt mellom to av nullpunktene, alltid skjære x-aksen i det tredje nullpunktet.

Jeg tviler sterkt på at det blir oppgave på eksamen å bevise dette, men det skal vi gjøre nå, uansett.

[Magnus]

Nå har vel "galois" allerede gjort dette i en tråd.

[sEirik]

Jeg kommer frem til at det blir mye rot med symbolregning. Men her er strategien min:

1) Definere en funksjon f(x) med tre nullpunkter
2) Derivere funksjonen
3) Finne stigningstallet til tangenten, dvs. den deriverte i midtpunktet mellom to av røttene
4) Finne funksjonsverdien til f(x) i midtpunktet mellom to av røttene
5) Finne uttrykket for tangengen gjennom dette punktet og vise at den er lik null i punktet c.

[sEirik]

Nå har vel "galois" allerede gjort dette i en tråd.

Nja. Hvilken?

[Magnus]

Skal vel fungere det.

[sEirik]

I hvert fall.

Vi ser på tredjegradsfunksjonen $f(x)$ med nullpunkter i $a$, $b$ og $c$ og tredjegradskoeffisient $n$. Da er, av Algebraens Fundamentalteorem,

$f(x)=n(x-a)(x-b)(x-c)$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

Vi kan anta uten tap av generalitet at vi tar utgangspunkt i røttene $a$ og $b$. Vi er da interessert i å finne tangenten gjennom $(\frac{a+b}{2},f\left(\frac{a+b}{2}\right))$.

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=n(\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-b)(\frac{a+b}{2}-c)$

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=n\left(\frac{b-a}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)\left(\frac{a+b-2c}{2}\right)$

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{n}{8}(b-a)(a-b)(a+b-2c)$

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=-\frac{n}{8}(a-b{)}^2(a+b-2c)$

Vi skal også finne den deriverte her.

$f^{\prime }(x)=n[3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)]$

$f^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)=n[3{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-2(a+b+c)\left(\frac{a+b}{2}\right)+(ab+ac+bc)]$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$f^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)=-\frac{n}{4}(a-b{)}^2$

Vi lar tangenten ha funksjonen $g(x)=px+q$, der $p=-\frac{n}{4}(a-b{)}^2$.
Vi vet at $g\left(\frac{a+b}{2}\right)=-\frac{n}{8}(a-b{)}^2(a+b-2c)$.
Da er
$q=-\frac{n}{8}(a-b{)}^2(a+b-2c)+\frac{n}{4}(a-b{)}^2\cdot \frac{a+b}{2}$

$q=\frac{n}{8}\cdot (a-b{)}^2\cdot (2c-b-a)+\frac{n}{8}\cdot (a-b{)}^2\cdot (a+b)$

$q=\frac{n}{8}(a-b{)}^2\cdot 2c$

Vi løser nå for nullpunktet til g(x).

$g(x)=0$

$px+q=0$

$x=-\frac{q}{p}$

$x=-\frac{\frac{n}{8}(a-b{)}^2\cdot 2c}{-\frac{n}{4}(a-b{)}^2}$

Nå begynner vi å ane at vi er i mål. Vi multipliserer med 8 oppe og nede.

$x=-\frac{n(a-b{)}^2\cdot 2c}{-2n(a-b{)}^2}$

Vi stryker $2n(a-b{)}^2$ oppe og nede.

$x=-\frac{c}{-1}=-(-c)$

$x=c$

og vi er i mål.

Q.E.D.

[SUPLOLZ]

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

Hvorfor fjerna du alle leddene som inneholdt c?

[josk17]

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

Hvorfor fjerna du alle leddene som inneholdt c?

$4ac-4ac+4bc-4bc=0$