Grenseverdi

[Charlatan]

Regn grenseverdien:

[tex]\lim_{t \to \infty} e^{-0.9t}[/tex]

Jeg trenger fremgangsmåten på dette spørsmålet, for det er inkludert i en oppgave.

Jeg ser jo selvfølgelig at den går mot 0, men ikke hvordan man regner det ut.

[Magnus]

Vel. Trenger *i grunn* ikke kjøre så mye mer enn å si at den blir 0. Ettersom du "vet" at den eksisterer.

[Charlatan]

Kult. Takk.

[Charlatan]

Men forresten. Oppgaven sier: regn ut grenseverdien...

[Cauchy]

Siden [tex]e^{-ax},\quad a\geq0[/tex], er kontinuerlig er grenseverdien din den samme som
[tex]e^{\lim_{t\rightarrow\infty}(-0.9t)}[/tex], og det vet vi går mot 0.

[sEirik]

Man kan vise det sånn også:

[tex]f(t)[/tex] går mot null hvis det for alle [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer en [tex]T[/tex] slik at [tex]|f(t)| < \epsilon[/tex] for alle [tex]t \ge T[/tex].

Det var kanskje en gresk måte å si det på, men her er tankegangen: Vi lar [tex]\epsilon[/tex] være maksimum tillatt avvik fra 0. Hvis vi velger [tex]T[/tex] høy nok, skal avviket fra 0, nemlig [tex]|f(t)|[/tex], bli mindre enn maksavviket for alle [tex]t \ge T[/tex].

Vi lar [tex]f(t) = e^{-0.9t}[/tex]. Siden funksjonen alltid er positiv, er det nok å finne en T slik at

[tex]e^{-0.9t} < \epsilon[/tex] for alle [tex]t \ge T[/tex].

[tex]-0.9t < \ln \epsilon[/tex]

[tex]t > - \ln \epsilon / 0.9[/tex]

Vi ser at så lenge vi setter [tex]T = -\frac{\ln \epsilon}{0.9} + 1[/tex] så får vi avviket fra 0 så lite vi bare vil.

[Charlatan]

Takk for svar, men jeg må vite en ting før jeg forstår det.

Hva står epsilon for? [tex]\epsilon[/tex]

[sEirik]

[tex]\epsilon[/tex] er en vanlig variabel, akkurat som "x" eller "y" eller "z" eller "a", ikke noe mer lurendreieri enn det. [tex]\epsilon[/tex] i denne sammenhengen angir hvor stort maksimalt avvik fra 0 kan være. Poenget med definisjonen er at vi kan velge [tex]\epsilon[/tex] så nær 0 vi bare vil, og allikevel få en T-verdi som gjør at f(t) får mindre avvik enn [tex]\epsilon[/tex].