Geometrisk rekke

[steamu]

Sliter litt med denne oppgaven, kan noen hjelpe?

[tex]a1=ln (x+1)[/tex]
[tex]a2=ln(x^2)[/tex]

For hvilken verdi av x er rekken konvergent?

(Løs ulikhenten (-1<k<1)?)

[tex]K=\frac{a2}{a1}[/tex]

[tex]K=\frac{2ln(x)}{ln(x+1)}[/tex]

[tex]-1<K<1[/tex]

[tex]-1<\frac{2ln(x)}{ln(x+1)}<1[/tex]

Høyre side:

[tex]\frac{2ln(x) - ln(x+1)}{ln(x+1)}<0[/tex]

Venstre side:

[tex]\frac{2ln(x) + ln(x+1)}{ln(x+1)}>0[/tex]

[sEirik]

Hva er mønsteret i den rekka der?

[steamu]

Hva er mønsteret i den rekka der?

Oppgaven ble hentet fra en matematikkbok, alt vi får oppgitt er a1 og a2.

[mrcreosote]

Skribleriene begynner bra, helt riktig tenkt.

[tex]-1<\frac{2ln(x)}{ln(x+1)}<1 [/tex]

Nå er ln(x+1)>0 når x>0 som vi må ha for at ln(x) som også opptrer her skal være definert. Dermed kan du gange opp med ln(x+1) på begge sider for

[tex]-\ln(x+1)<\ln(x^2)<\ln(x+1) \\ -(x+1)<x^2<x+1[/tex]

der vi i overgangen har tatt e opphøyd i hver side av ulikhetene. Dette byr ikke på noen problemer siden eksponentialfunksjonen er strengt voksende.

Klarer du det videre derfra? Bare et par andregradligninger å løse nå. Om du får et gyllent svar er det bra tror jeg.

[sEirik]

Det eneste som kreves for at rekka er veldefinert, er vel at [tex]x > -1[/tex] og [tex]x \not = 0[/tex].

[steamu]

Det eneste som kreves for at rekka er veldefinert, er vel at [tex]x > -1[/tex] og [tex]x \not = 0[/tex].

Sett prøve på det da, da ender vi opp med at k får større verdi enn feks 1 når x = 100 og x=-0.6 gir K=1.11 som er utenfor ulikheten.

[mrcreosote]

Rekka skulle være konvergent, ikke bare veldefinert.

Edit: Ah, nå er jeg med på hva du sier Eirik. Min feil, beklager.

[steamu]

Skribleriene begynner bra, helt riktig tenkt.

[tex]-1<\frac{2ln(x)}{ln(x+1)}<1 [/tex]

Nå er ln(x+1)>0 når x>0 som vi må ha for at ln(x) som også opptrer her skal være definert. Dermed kan du gange opp med ln(x+1) på begge sider for

[tex]-\ln(x+1)<\ln(x^2)<\ln(x+1) \\ -(x+1)<x^2<x+1[/tex]

der vi i overgangen har tatt e opphøyd i hver side av ulikhetene. Dette byr ikke på noen problemer siden eksponentialfunksjonen er strengt voksende.

Klarer du det videre derfra? Bare et par andregradligninger å løse nå. Om du får et gyllent svar er det bra tror jeg.

Ulikheten til vestre gir en likning som sier:

[tex]0<x^2+x+1[/tex]

Har ikke lært å regne med komplekse tall enda.

[mrcreosote]

Det går fint uten. Siden x^2+x+1 ikke har noen reelle løsninger, er det alltid positivt eller alltid negativt siden grafen til funksjonen aldri krysser x-aksen. I det tilfellet er det positivt. (Hvorfor?) Dermed er den første ulikheta oppfylt for alle x.

Den andre ulikheta, x^2-x-1<0 klarer du å løse på vanlig måte.

[steamu]

Det går fint uten. Siden x^2+x+1 ikke har noen reelle løsninger, er det alltid positivt eller alltid negativt siden grafen til funksjonen aldri krysser x-aksen. I det tilfellet er det positivt. (Hvorfor?) Dermed er den første ulikheta oppfylt for alle x.

Den andre ulikheta, x^2-x-1<0 klarer du å løse på vanlig måte.

Aaah, kom på det når jeg leste det, kan løse resten selv da =). Tusen takk for hjelpen.