Oppgaven
[tex]\iiint_{R} \sqrt{x^2 + y^2} dV[/tex]
[tex]\small R = \{ (x,y,z) \in\mathbb{R} \;|\; x^2+y^2+z^2 \leq 4 \}[/tex]
Besvarelse
Integralet går over kulen med radius 2 og sentrum i origo. Vi tar x og y delen på polarform. Variabelen z går fra:
[tex]-\sqrt{4-(x^2+y^2)}\leq z\leq \sqrt{4-(x^2+y^2)}[/tex]
Jeg får dette til å bli:
[tex]\iint\int_{\small-\sqrt{4-(x^2+y^2)}}^{\small\sqrt{4-(x^2+y^2)}}\sqrt{(x^2) + y^2}dzdA \; =[/tex]
[tex]2\iint\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{4-(x^2+y^2)}dA[/tex]
Jeg tar resten av integralet på polarform, og bruker at theta går fra 0 til 2pi og at r går fra 0 til 2 (siden radien er 2 for kulen). Tar også med Jacobideterminanten og får dette integralet:
[tex]2\int^{\small2\pi}_{\small0}\int^{\small2}_{\small0}(r*\sqrt{4-r^2})*rdrd\theta = 2\int^{\small2\pi}_{\small0}\int^{\small2}_{\small0}(r^2\sqrt{4-r^2})drd\theta[/tex]
Problemet her blir det ubestemte integralet
[tex]\int(r^2\sqrt{4-r^2})dr[/tex]
Substitusjon fungerer ikke her, og jeg klarer ikke å løse det ved delvis integrasjon. Integralene pleier å være greie når man har kommet så langt, så jeg er fristet til å tro at jeg har gjort noe galt i utregningen ovenfor. Er det noen som ser noe?
