Diofantisk ligning

[mrcreosote]

Løs

$$\begin{gathered} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ {x}^2=2(y+z) \end{gathered}$$

i positive heltall.

[daofeishi]

Jeg gjør et forsøk.

$$\begin{gathered} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ {x}^2=2(y+z) \end{gathered}$$

Vi begynner med å omskrive det første uttrykket.

$$\begin{gathered} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ {x}^3-y^3-z^3-3xyz=0 \end{gathered}$$

Vi observerer at dette uttrykket har et nullpunkt for x = y + z, og faktoriserer ved inspeksjon:

$(x-y-z)(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx)=0$

Løsningen x = y + z gir ved substitusjon i det andre uttrykket
$$\begin{gathered} x^2=2(y+z) \\ {x}^2=2x \\ x=0\vee x=2 \end{gathered}$$

Som gir oss følgende talltripler som løsninger:
$(0,0,0)(2,0,2)(2,1,1)(2,2,0)$

Vi viser nå at disse løsningene er de eneste positive heltallige løsningene.
Vi ser at dersom ikke x = y + z, må en løsning av systemet tilfredsstille
$x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx=0$

Som vi kan omskrive til
$$\begin{gathered} x^2+xy+xz+y^2-yz+z^2=0 \\ {x}^2+xy+xz+(y-z{)}^2+yz=0 \\ {x}^2+xy+xz+(y-z{)}^2=-yz \end{gathered}$$

Som må ha en løsning med y eller z = 0 dersom x, y og z er ikkenegative heltall, siden VS i så tilfelle er positiv og HS negativ.
Dersom z = 0, får vi
$x^2+xy=-y^2$
som ikke har løsning dersom ikke y = 0, av samme grunn som over. Dermed er den eneste løsningen i positive heltall av dette systemet (0, 0, 0)


Løsningene blir altså:
$(0,0,0)(2,0,2)(2,1,1)(2,2,0)$

[mrcreosote]

Ser fint ut. Nøkkelen er faktoriseringa.

Men neste gang håper jeg du er litt mer rutinert (les: latere) og tolker positive heltall som ekte større enn 0.

[daofeishi]

Det har du selvfølgelig helt rett i. Jeg stiller meg i skammekroken for den.

[mrcreosote]

Såså, kom deg ut derfra og prøv heller på denne:

Løs i hele tall x og y forskjellige fra 0 $x^3+5=y(x^2+2)$.

[daofeishi]

$x^3+5=y(x^2+2)$
er ekvivalent med
$y=\frac{x^3+5}{x^2+2}=x-\frac{2x-5}{x^2+2}$

Vi kan bare få heltallige løsninger for y dersom $x^2+2\le |2x-5|$

Som vi ser, ved å skissere regionene i xy-planet, er ekvivalent med:
$$\begin{gathered} x^2+2\le -2x+5 \\ {x}^2+2x-3\le 0 \\ (x+3)(x-1)\le 0 \\ -3\le x\le 1 \end{gathered}$$

Ved å teste hver av x-verdiene, finner vi løsningsmengden:
$(-3,-2)(1,2)$

[mrcreosote]

Åjada. En del lettere den her, det er bare å gå rett på i grunnen.

Den blei gitt i en Abelfinale og en alternativ løsning er her.

La oss ikke stoppe: $x^3+1=y^2$ i heltall.

[DrKarlsen]

Her: http://www.diskusjon.no/index.php?showt ... &p=8885799

[EivindL]

Vis at $y^2=x^3+6$ ikke har noen heltallige løsninger.