Ingen hemmelighet at det er smart å trene på integrasjon. Derfor vil jeg starte en klassiker av en integrasjonstråd.
Som på mange andre forum har den følgende oppskrift:
Første innlegg inneholder et uløst integral (gjerne VGS nivå men også strammere nivå)
Førstemann til mølla som løser integralet poster da et nytt integral som skal løses av nestemann osv osv..
Her er nummer en i rekken
[tex] I_1 = \int 4x^2\cos(3x)\rm{d}x[/tex]
Integrasjonlek
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
God ide!
[tex]I = \int 4x^2cos(3x) dx \\ t=3x \ \frac{dt}{3}=dx \\ I=\frac{4}{3}\int (\frac{t}{3})^2cos(t) dt = \frac{4}{27}\int t^2cos(t) dt \\ I_1 = \int t^2cost(t) dt \\ u=t^2 \ u^\prime = 2t \\ v^\prime = cos(t) \ v = sin(t) \\ I_1 = t^2sin(t) - 2\int t \cdot sin(t) dt \\ I_2 = \int t \cdot sin(t) dt \\ u = t \ u^\prime = 1 \\ v^\prime = sin(t) \ v=-cos(t) \\ I_2 = -t \cdot cos(t) +\int cos(t) dt = sin(t)-t \cdot cos(t)+C \\ I = \frac{4}{27}I_1 = \frac{4}{27}(t^2sin(t)-2\cdot I_2) = \frac{4}{27}(t^2sin(t)-2(sin(t)-t \cdot cos(t))) + C = \frac{4}{27}t^2sin(t)-\frac{8}{27}sin(t)+\frac{8}{27}tcos(t) +C \\ t=3x \Rightarrow I = \frac{4}{3}x^2sin(3x) - \frac{8}{27}sin(3x)+\frac{8}{9}xcos(3x) + C[/tex]
Og så var det et eget integral da..
[tex]I = \int 5e^{2x}\frac{sin(x)}{tan(x)} dx[/tex]
Er ikke så oppfinnsom akkurat...
[tex]I = \int 4x^2cos(3x) dx \\ t=3x \ \frac{dt}{3}=dx \\ I=\frac{4}{3}\int (\frac{t}{3})^2cos(t) dt = \frac{4}{27}\int t^2cos(t) dt \\ I_1 = \int t^2cost(t) dt \\ u=t^2 \ u^\prime = 2t \\ v^\prime = cos(t) \ v = sin(t) \\ I_1 = t^2sin(t) - 2\int t \cdot sin(t) dt \\ I_2 = \int t \cdot sin(t) dt \\ u = t \ u^\prime = 1 \\ v^\prime = sin(t) \ v=-cos(t) \\ I_2 = -t \cdot cos(t) +\int cos(t) dt = sin(t)-t \cdot cos(t)+C \\ I = \frac{4}{27}I_1 = \frac{4}{27}(t^2sin(t)-2\cdot I_2) = \frac{4}{27}(t^2sin(t)-2(sin(t)-t \cdot cos(t))) + C = \frac{4}{27}t^2sin(t)-\frac{8}{27}sin(t)+\frac{8}{27}tcos(t) +C \\ t=3x \Rightarrow I = \frac{4}{3}x^2sin(3x) - \frac{8}{27}sin(3x)+\frac{8}{9}xcos(3x) + C[/tex]
Og så var det et eget integral da..
[tex]I = \int 5e^{2x}\frac{sin(x)}{tan(x)} dx[/tex]
Er ikke så oppfinnsom akkurat...
Ålrait. Here goes...
[tex]I \qquad = \qquad 5\int e^{2x} \frac{\sin(x)}{\tan(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad 5\int e^{2x}\cos(x) \rm{d}x \qquad = \qquad5\Re \left( \int e^{(2+i)x} \rm{d} x\right) \\ = \qquad 5 \Re \left( \frac{e^{(2+i)x}}{2+i} +C \right) \qquad = \qquad e^{2x}\Re \left((2-i)e^{ix}\right) + C \qquad = \qquad e^{2x} \left(2\cos(x) + \sin(x) \right) + C[/tex]
Neste:
[tex]\int e^{\arcsin (x)} \rm{d} x[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad 5\int e^{2x} \frac{\sin(x)}{\tan(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad 5\int e^{2x}\cos(x) \rm{d}x \qquad = \qquad5\Re \left( \int e^{(2+i)x} \rm{d} x\right) \\ = \qquad 5 \Re \left( \frac{e^{(2+i)x}}{2+i} +C \right) \qquad = \qquad e^{2x}\Re \left((2-i)e^{ix}\right) + C \qquad = \qquad e^{2x} \left(2\cos(x) + \sin(x) \right) + C[/tex]
Neste:
[tex]\int e^{\arcsin (x)} \rm{d} x[/tex]
Sist redigert av daofeishi den 20/08-2007 21:37, redigert 4 ganger totalt.
Jepp Halten er en godkar!
Fin den Jarle må bare omformes litt selvfølgelig
[tex]I=\int 5e^{2x}\cdot \frac{\sin x}{\tan x}dx \ \; \left(\frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x\right)[/tex]
[tex]u^, = \cos x \,\ u=\sin x \ , \ v=5e^{2x} \,\ v^,=10e^{2x}[/tex]
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx= \sin x \cdot 5e^{2x}-\int 10e^{2x}\cdot \sin x dx[/tex]
Ny delvis:
[tex]u^, = \sin x \,\ u=-\cos x \ , \ v=10e^{2x} \,\ v^,=20e^{2x}[/tex]
[tex]\int 10e^{2x}\cdot \sin x dx= -\cos x\cdot 10e^{2x}-\int 20e^{2x}\cdot -\cos x dx[/tex]
Fører inn i første delvis integral:
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}-\left(-\cos x\cdot 10e^{2x}+\int 20e^{2x}\cdot \cos x dx\right)[/tex]
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}+\cos x\cdot 10e^{2x}-20\int e^{2x}\cdot \cos x dx[/tex]
Fører over [tex]20\int e^{2x}\cdot \cos x dx[/tex] til venstre side.
[tex]25\int e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}+\cos x \cdot 10e^{2x}[/tex]
[tex]25\int e^{2x}\cdot \cos x dx = 5e^{2x}(\sin x+2\cos x)[/tex]
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \underline{\underline{e^{2x}(\sin x + 2\cos x)+C}}[/tex]
Ny integral kommer straks
Fin den Jarle må bare omformes litt selvfølgelig
[tex]I=\int 5e^{2x}\cdot \frac{\sin x}{\tan x}dx \ \; \left(\frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x\right)[/tex]
[tex]u^, = \cos x \,\ u=\sin x \ , \ v=5e^{2x} \,\ v^,=10e^{2x}[/tex]
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx= \sin x \cdot 5e^{2x}-\int 10e^{2x}\cdot \sin x dx[/tex]
Ny delvis:
[tex]u^, = \sin x \,\ u=-\cos x \ , \ v=10e^{2x} \,\ v^,=20e^{2x}[/tex]
[tex]\int 10e^{2x}\cdot \sin x dx= -\cos x\cdot 10e^{2x}-\int 20e^{2x}\cdot -\cos x dx[/tex]
Fører inn i første delvis integral:
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}-\left(-\cos x\cdot 10e^{2x}+\int 20e^{2x}\cdot \cos x dx\right)[/tex]
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}+\cos x\cdot 10e^{2x}-20\int e^{2x}\cdot \cos x dx[/tex]
Fører over [tex]20\int e^{2x}\cdot \cos x dx[/tex] til venstre side.
[tex]25\int e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}+\cos x \cdot 10e^{2x}[/tex]
[tex]25\int e^{2x}\cdot \cos x dx = 5e^{2x}(\sin x+2\cos x)[/tex]
[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \underline{\underline{e^{2x}(\sin x + 2\cos x)+C}}[/tex]
Ny integral kommer straks
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Forsiktig så det ikke blir rot i systemet nå. Jeg er redd jeg kom deg i forkjøpet med et par små minutter
Jeg forslår at vi tar integralet over først:
[tex]\int e^{\arcsin (x)} \rm{d} x[/tex]
Edit: Jeg foreslår også at posten flyttes til nøtte-seksjonen.
Jeg forslår at vi tar integralet over først:
[tex]\int e^{\arcsin (x)} \rm{d} x[/tex]
Edit: Jeg foreslår også at posten flyttes til nøtte-seksjonen.
Sist redigert av daofeishi den 20/08-2007 21:35, redigert 1 gang totalt.
Fy flate daofeshi.. :p da gjelder din neste integral som neste..
Altså:
[tex]I=\int e^{\arcsin x} \rm{dx}[/tex]
*edit*
Greit nok at du slo meg med et par minutter, men du eide meg på framgangsmåte
Altså:
[tex]I=\int e^{\arcsin x} \rm{dx}[/tex]
*edit*
Greit nok at du slo meg med et par minutter, men du eide meg på framgangsmåte
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
[tex]I=\int e^{\arcsin(x)}{\rm dx}[/tex]
u = arcsin(x) og x = sin(u) og cos(u) = [symbol:rot](1-x[sup]2[/sup])
[tex]{\rm du}(\sqrt{1-x^2})={\rm dx}[/tex]
[tex]I=\int e^u\cos(u){\rm du}[/tex]
nå er jeg såpass lat, og har dårlig tid, at jeg bruker formelsamlinga og slår opp:
[tex]I={e^u\over 2}(\sin(u)+\cos(u))={1\over 2}e^{\arcsin(x)}(x\,+\,\sqrt{1-x^2})\,+\,C[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------
OK, den stemte med Integrator iallfall.
Neste:
[tex]I=\int \frac{\rm dx}{1+x^4}[/tex]
Jarle, nå må du ikke kikke på Gib Z sin løsning da...
u = arcsin(x) og x = sin(u) og cos(u) = [symbol:rot](1-x[sup]2[/sup])
[tex]{\rm du}(\sqrt{1-x^2})={\rm dx}[/tex]
[tex]I=\int e^u\cos(u){\rm du}[/tex]
nå er jeg såpass lat, og har dårlig tid, at jeg bruker formelsamlinga og slår opp:
[tex]I={e^u\over 2}(\sin(u)+\cos(u))={1\over 2}e^{\arcsin(x)}(x\,+\,\sqrt{1-x^2})\,+\,C[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------
OK, den stemte med Integrator iallfall.
Neste:
[tex]I=\int \frac{\rm dx}{1+x^4}[/tex]
Jarle, nå må du ikke kikke på Gib Z sin løsning da...
Sist redigert av Janhaa den 20/08-2007 21:54, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Imponert..
Hvordan visste du at "u = arcsin(x) og cos(u) = √(1-x2)" ?
Står ikke i formelsamlinga mi (Matte 1)
Gjerne fyr opp et nytt integral
Hvordan visste du at "u = arcsin(x) og cos(u) = √(1-x2)" ?
Står ikke i formelsamlinga mi (Matte 1)
Gjerne fyr opp et nytt integral
Sist redigert av Olorin den 20/08-2007 21:55, redigert 1 gang totalt.
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
sin(arcsin(x)) = x (kan nesten si at du opphever operasjonen)Olorin skrev:Imponert..
Hvordan visste du at "u = arcsin(x) og x = sin(u) og cos(u) = √(1-x2)" ?
Står ikke i formelsamlinga mi (Matte 1)
Gjerne fyr opp et nytt integral
cos(u) = [symbol:rot](1 - x[sup]2[/sup]) er Pytagoras.
Altså: cos[sup]2[/sup](u) + sin[sup]2[/sup](u) = 1
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Eller snarere at:Jarle10 skrev:Ah, fin løsning janhaa!
Man måtte vite at [tex]arcsinx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex] da
[tex]\frac{\rm d}{\rm dx}(\arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]
Viktig å ha disse i "fingertuppa". Putt de inn med engang, jeg som kjemiker bruker dem titt og ofte...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
bumper integralet Janhaa hosta opp..
[tex]I=\int \frac1{1+x^4}\rm{d}x[/tex]
[tex]I=\int \frac1{1+x^4}\rm{d}x[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer