bevis

[kalleja]

tror det er lett, men litt usikker på hvordan jeg skal angripe denne typen oppg:

Vis at $n^5-n$ er delelig med 5 for alle naturlige tall n.

[Magnus]

$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)$

Kan gjøres med induksjon, men.. La:

n=5k --> 5|n
n=5k+1 --> 5|n-1
n= 5k+2 --> 5|n^2+1
n= 5k+3 --> 5|n^2 +1
n= 5k+4 --> 5|n+1

Evt bruk fermats lille teorem, da følger det (trivielt).

[Chepe]

MAT-INF 1100? Er ganske ny på induksjonsbevis, men tror jeg løste denne oppgaven tidligere i dag. Er det noen logiske brister eller feil er det flott med tilbakemelding!

Skal vise at $n^5-n$ er delelig på 5 for alle naturlige tall.

Vi sjekker med n=1 og n=2 og ser at dette stemmer.

Generelt har vi da at $k^5-k$ er delelig med fem. Vil da vise at dette gjelder for $n=k+1$

$(k+1{)}^5-(k+1)$
Bruker binomialformelen for å gange ut parantesen som er opphøyd i 5:
$k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-(k+1)$
$k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1$

Vi ser her at -1 går mot +1, og vi kan skrive:
$(k^5-k)+5k^4+10k^3+10k^2+5k$
Her har jeg flyttet -k slik at det står som andre ledd. Dette leddet kjenner vi igjen fra da vi satte n=k, ($k^5-k$), og vi vet jo at dette uttrykket er delelig med fem. Som du ser er også alle de andre leddene delelige med 5 og dermed vil jeg tro vi har vist at $n^5-n$ er delelige med alle naturlige tall n.

[kalleja]

tusen takk går ikke MAT-INF 1100, har nettopp startet på MA1101, etter en hard fadderperiode. Du bruker kanskje Tom Lindstrøm ( Kalkulus) du og ?

[Chepe]

Hehe, bruker Kalkulus jeg også ja, og jeg hadde løst nøyaktig den oppgaven tidligere på dagen, dog med et lite hint fra noen medstudenter

[kalleja]

hehe, ja ganske åpenbart når man ser løsningen:P, jeg trenger nok litt mer trening på induksjon

Fant enda en jeg sliter litt med og:

$\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$

skal vise at utrykket er et naturligtall for alle n >= 0

[dischler]

$h_n=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$
$h_{n+1}=\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}{h}_n=(2n+1)h_n$

[kalleja]

$h_n=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$
$h_{n+1}=\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}{h}_n=(2n+1)h_n$

ser bra ut, men hva gjør du her? $\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}{h}_n$