Interessant volumoppgave

[daofeishi]

Det er sikkert en del som har lagt merke til en likhet mellom volumformelen for en pyramide og for en kjegle. Dersom A er arealet av grunnflaten og h er høyden av disse formene, er volumet for begge to gitt ved $V=\frac{Ah}{3}$

Det disse to formene har til felles, er at de bestemmes av en grunnflate og et "forsvinningspunkt," og formen skapes ved å trekke rette linjer fra "forsvinningspunktet" til ytterkanten på grunnflaten.

Prøv å bevise at samme volumformel, $V=\frac{Ah}{3}$ der A er arealet av grunnflaten og h er høyden fra grunnflaten til "forsvinningspunktet," gjelder for alle slike former, uansett formen på grunnflaten!

[daofeishi]

Hint:

Ta for deg et plant snitt gjennom formen parallelt med grunnflaten. Hvilken form har dette snittet? Kan du relatere arealet av dette snittet til arealet av grunnflaten som en funksjon av høyde?

Oppgaven er forresten fullt ut løselig med teknikker fra VGS.

[sEirik]

Kom an folkens, dette her er ikke vanskelig.

[daofeishi]

Kom an folkens, dette her er ikke vanskelig.

Jeg er skuffet over hvor få som benytter nøtteforumet sammenlignet med forumet ellers.

Det må da være noen norske vgs-studenter som er interessert i å gjøre annen matematikk enn "regelbokmatematikken"?

[Janhaa]

Jeg tillater meg å komme med ett bidrag her. Er jo kjemiker (som nevnt tidligere), og sysler derfor mest med kjemi. Uansett - i mangel av figur og formlik trekant antar jeg A(x) som tverrsnittarealet av romlegemet. Der forholdet mellom A(x) og bunnflata, G, er kvadratet av det lineære forholdet$\frac{x}{h}$
Slik at:

$\frac{A(x)}{G}=\frac{x^2}{h^2},$altså

$A(x)=\frac{G}{h^2}{x}^2$

$V={\int }_0^{h}A(x)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{G}{h^2}{\int }_0^h{x}^2\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{G}{3h^2}\cdot [x^3{]}_0^h=\frac{G}{3h^2}(h^3-0)=\frac{Gh}{3}$

[daofeishi]

Jepp, slik løste jeg den og. Ellers er ikke dette et resultat jeg noen gang har sett referert før (-merkelig?). Jeg husker dette er noe jeg undret meg over om ikke stemte på ungdomsskolen, men jeg kom ikke på å prøve å bevise det før her forleden. Ved hvilket universitet tar du din PhD, forresten, Janhaa?

[Themaister]

Yey Klarte den i hvertfall.

G(x) = Areal av flate ved høyde x
A = Grunnflateareal


G(x) = A * ((h-x)/h)^2 =
A * (h^2-2xh+x^2)/h^2 =

A * (1 - 2x/h + x^2/h^2)

Integral fra 0 til h: A * (1 - 2x/h + x^2/h^2) dx

A * (h - h + h/3) = Ah/3

;D

Veit ikke åssen man bruker latex eller hva det heter =(=( Link til guide?

[Magnus]

http://www.artofproblemsolving.com/LaTe ... _About.php
http://www.ctan.org/tex-archive/info/ls ... lshort.pdf

[arildno]

For n-dimensjonale "pyramider" med "grunnflate" G og høyde h har vi generelt volum v=(G*h)/n, når n er større eller lik 2.