Hvordan løser man denne likningen:
cos(6x) = cos(2x)
Trigonometrisk likning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du setter arccos på begge sider av likningen.
[tex]\cos{(6x)}=\cos{(2x)} \Rightarrow 6x=2x+n \cdot 2 \pi \ \vee \ 6x=2\pi - 2x + n \cdot 2 \pi[/tex]
Regner med at intervallet er [tex]x \in [0,2\pi][/tex]
[tex]6x=2x+n \cdot 2 \pi \Rightarrow \frac{2x}{3}=n \cdot \frac13 \pi \Rightarrow x = n \cdot \frac12 \pi [/tex]
Vi observerer at [tex]n \in \{ 0,1,2,3,4 \}[/tex] for at x skal holde seg innenfor intervallet. Vi løser likningen for disse verdiene av n:
[tex]x=0, \ \frac{\pi}{2}, \ \pi, \ \frac{3\pi}{2}, \ 2\pi[/tex]
[tex]6x=2\pi - 2x + n \cdot 2 \pi \Rightarrow \frac{4x}{3} = \frac{\pi}{3} + n \cdot \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + n \cdot \frac{\pi}{4}[/tex]
Vi observerer at [tex]n \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \}[/tex] for at x skal holde seg innenfor intervallet. Vi løser likningen for disse verdiene av n.
[tex]x= \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{3 \pi}{4}, \ \pi , \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{3 \pi }{2}, \ \frac{7\pi}{4}, \ 2\pi[/tex]
Dette gir disse løsningene:
[tex]x=0, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{3 \pi}{4}, \ \pi , \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{3 \pi }{2}, \ \frac{7\pi}{4}, \ 2\pi[/tex]
[tex]\cos{(6x)}=\cos{(2x)} \Rightarrow 6x=2x+n \cdot 2 \pi \ \vee \ 6x=2\pi - 2x + n \cdot 2 \pi[/tex]
Regner med at intervallet er [tex]x \in [0,2\pi][/tex]
[tex]6x=2x+n \cdot 2 \pi \Rightarrow \frac{2x}{3}=n \cdot \frac13 \pi \Rightarrow x = n \cdot \frac12 \pi [/tex]
Vi observerer at [tex]n \in \{ 0,1,2,3,4 \}[/tex] for at x skal holde seg innenfor intervallet. Vi løser likningen for disse verdiene av n:
[tex]x=0, \ \frac{\pi}{2}, \ \pi, \ \frac{3\pi}{2}, \ 2\pi[/tex]
[tex]6x=2\pi - 2x + n \cdot 2 \pi \Rightarrow \frac{4x}{3} = \frac{\pi}{3} + n \cdot \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + n \cdot \frac{\pi}{4}[/tex]
Vi observerer at [tex]n \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \}[/tex] for at x skal holde seg innenfor intervallet. Vi løser likningen for disse verdiene av n.
[tex]x= \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{3 \pi}{4}, \ \pi , \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{3 \pi }{2}, \ \frac{7\pi}{4}, \ 2\pi[/tex]
Dette gir disse løsningene:
[tex]x=0, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{3 \pi}{4}, \ \pi , \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{3 \pi }{2}, \ \frac{7\pi}{4}, \ 2\pi[/tex]
Jeg har ikke hatt noe om arccos, men leste i et annet innlegg at det var det samme som sin^-1. Men jeg ser ikke hvordan du tar arccos på begge sider av likningen, også får det du har skrevet. Kunne du vise utregningen litt mer grundig når du tar i bruk arccos?
Takk
Takk
arccos er den inverse cosinusfunksjonen. Den "opphever" cosinusfunksjonen på begge sider kan du si. Men man kan ikke uten videre oppheve slik. Spesielle egenskaper ved cosinusfunksjonen må man ta hensyn til på grunn av at funksjonen ikke er injektiv. Hvilket nivå er du på?
