Hadet kalkulator (hvilket tall er størst?)

[daofeishi]

Noen ganger trenger man å vite egenkaper til tall som ikke kalkulatoren kan hjelpe deg med. Denne gangen er det fordi tallene er litt for store. Prøv å finne ut, uten å jukse med tekniske hjelpemidler, hvilke tall som er størst:

a) La $n{!}^{(k)}$ bety at du tar fakultetet av n k ganger. For eksempel, $n{!}^{(3)}=((n!)!)!$ Hva er størst, $1999{!}^{(2000)}$ eller $2000{!}^{(1999)}$

b) $\frac{{10}^{1999}+1}{{10}^{2000}+1}$ eller $\frac{{10}^{1998}+1}{{10}^{1999}+1}$

c) $2000!$ eller ${1000}^{2000}$

d) ${1999}^{1999}$ eller ${2000}^{1998}$

[Charlatan]

Oppg a:

$1999{!}^{(2000)}=1999!\ast 1999{!}^{(1999)}$
$2000{!}^{(1999)}={2000}^{1999}\ast 1999{!}^{(1999)}$

Viser at:
$1999!\ast 1999{!}^{(1999)}<{2000}^{1999}\ast 1999{!}^{(1999)}$

$1999!<{2000}^{1999}$

Dette er klart fordi $1999!=1999\ast 1998\ast 1997...2\ast 1$ Med 1999 faktorer
${2000}^{1999}=2000\ast 2000...\ast 2000$ med 1999 faktorer

$2000{!}^{(1999)}eraltsåstørst$

[Charlatan]

c)

${1000}^{2000}=({10}^3{)}^{2000}={10}^{2003}$ Dette tallet har 2003 nuller.

$2000!=(2000\ast 1999\ast 1998...1001\ast 1000)\ast 999\ast 998...2\ast 1$ Dette tallet er ganget med 1001 faktorer over 1000, og vil derfor ha minst $3\ast 1001=3003$ nuller

$2001!eraltsåstørst$

[Charlatan]

$\frac{{10}^{1999}+1}{{10}^{2000}+1}$ eller $\frac{{10}^{1998}+1}{{10}^{1999}+1}$

$\frac{{10}^{1999}+1}{{10}^{2000}+1}=\frac{1}{10}\frac{{10}^{2000}+1+9}{{10}^{2000}+1}=\frac{1}{10}+\frac{9}{{10}^{2001}+10}$

Gjør det samme på det andre uttrykket og får:
$\frac{{10}^{1998}+1}{{10}^{1999}+1}=\frac{1}{10}+\frac{9}{{10}^{2000}+10}$

Viser at:

$\frac{1}{10}+\frac{9}{{10}^{2000}+10}>\frac{1}{10}+\frac{9}{{10}^{2001}+10}$

$\frac{9}{{10}^{2000}+10}>\frac{9}{{10}^{2001}+10}$
Som er helt klart for uttrykket til venstre har en større nevner.

$\frac{{10}^{1998}+1}{{10}^{1999}+1}$ er altså størst

Håper svarene mine er riktige da

[Magnus]

c)

${1000}^{2000}=({10}^3{)}^{2000}={10}^{2003}$ Dette tallet har 2003 nuller.

$2000!=(2000\ast 1999\ast 1998...1001\ast 1000)\ast 999\ast 998...2\ast 1$ Dette tallet er ganget med 1001 faktorer over 1000, og vil derfor ha minst $3\ast 1001=3003$ nuller

$2001!eraltsåstørst$

Her må du passe på litt..
Er f.eks
${1000}^2=({10}^3{)}^2={10}^5$?

[Charlatan]

Oisann litt for kjapp i svingen der..

[sEirik]

${1000}^{2000}=1000\cdot 1000\cdot ...\cdot 1000\cdot 1000$

$2000!=2000\cdot 1\cdot ...\cdot 1999\cdot 2$

Setter vi opp 2000! slik ser vi at to og to faktorer slått sammen er mindre enn to faktorer av ${1000}^{2000}$. Altså må ${1000}^{2000}$ være størst.

[daofeishi]

Oppg a:

$1999{!}^{(2000)}=1999!\ast 1999{!}^{(1999)}$

Dette stemmer nok dessverre ikke, Jarle. Les definisjonen av notasjonen igjen. Du kan heller ikke bestemme hvilket tall som er størst bare ved å se på antall nuller. 99999 har ingen nuller, 100 har to. Hvilket er størst? Ellers flott

[Knuta]

a) La $n{!}^{(k)}$ bety at du tar fakultetet av n k ganger. For eksempel, $n{!}^{(3)}=((n!)!)!$ Hva er størst, $1999{!}^{(2000)}$ eller $2000{!}^{(1999)}$

$1999{!}^{(2000)}>2000{!}^{(1999)}$

Grunnen er enkel.

$1999{!}^{(2000)}=(1999!){!}^{(1999)}=(vannvittigdigerttall){!}^{(1999)}$

og

$(vannvittigdigerttall){!}^{(1999)}>2000{!}^{(1999)}$