lurer på hvordan jeg gjør dette..
Vis ved induksjon at
[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i}*i^2 = (-1)^n * \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
for alle positive heltall n.
Vi sjekker om formelen er riktig for n=1
[tex]P_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^1 (-1)^{i}*i^2 =(-1)^1 * \frac{1(1+1)}{2} = -1[/tex]
[tex]P_k = \displaystyle\sum_{i=1}^k (-1)^{i}*i^2 =(-1)^k * \frac{k(k+1)}{2}[/tex]
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}*i^2 = (-1)^{k+1} * \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}[/tex]
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}*i^2 = (-1)^{k+1} * \frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]
Hva gjør vi herfra? skjønner ikke helt dette...
induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
glemte av noe-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Dette stemmer i alle fall ikke for n=1. Mener duterje1337 skrev:
[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i}*i^2 = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
for alle positive heltall n.
[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/tex] ?
Hjelp her: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction
Edit:
Ah, tenker du mener
[tex]P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^n\cdot \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Sløv der, beklager.
Du har starta riktig med å skrive opp formelen for P_k (bortsett fra faktoren (-1)^k) som vi antar stemmer. I så fall er [tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k \overset{*}{=} \dots = (-1)^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex] der i du i * bruker induksjonsantagelsen (hva er P_k?) og så bedriver litt algebra. Nå har du vist at P_k=... medfører P_(k+1)=tilsvarende og dominobrikkene begynner å falle siden du allerede har bekrefta at P_1=-1.
Sist redigert av mrcreosote den 19/09-2007 19:36, redigert 2 ganger totalt.
hvordan kommer du fram til:
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k[/tex]
skjønte ikke helt framgangsmåten videre heller..
skal ikke [tex](-1)^{k+1}[/tex] være med før også? slik:
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^{k+1}* \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k[/tex]
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k[/tex]
skjønte ikke helt framgangsmåten videre heller..
skal ikke [tex](-1)^{k+1}[/tex] være med før også? slik:
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^{k+1}* \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Ja, det lurer jeg på også. Her var noe galt.
Prøver igjen:
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 \\= (-1)^{k+1}(k+1)^2+\displaystyle\sum_{i=1}^{k} (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k \\\overset*= (-1)^{k+1}(k+1)^2+(-1)^k\frac{k(k+1)}2 = (-1)^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex]
der det eneste du gjør i * er å sette inn induksjonsantagelsen, altså at P_k=...
I den andre overgangen har du bare splitta opp summen i to deler; det siste og de k første. Dette for å få lurt inn uttrykket for P_k.
Prøver igjen:
[tex]P_{k+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{i}\cdot i^2 \\= (-1)^{k+1}(k+1)^2+\displaystyle\sum_{i=1}^{k} (-1)^{i}\cdot i^2 = (-1)^{k+1}(k+1)^2 +P_k \\\overset*= (-1)^{k+1}(k+1)^2+(-1)^k\frac{k(k+1)}2 = (-1)^{k+1}\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex]
der det eneste du gjør i * er å sette inn induksjonsantagelsen, altså at P_k=...
I den andre overgangen har du bare splitta opp summen i to deler; det siste og de k første. Dette for å få lurt inn uttrykket for P_k.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Vis meg en av disse summesakene som ikke kan løses uten induksjon da. Enig at andre bevis er morsommere, så ta oppfordringa folkens!
å ja.. når skjønner jeg hele greia med induksjon...
skjønte ikke helt eksemplet men ser nå hva som skjer, man bruker k+1 i summeuttrykket, dette skal vi bevise.
så bruker man p_k i summeuttrykket, og adderer det med k+1 i ledduttrykket siden 1,2,3,4...k,k+1
skjønte det ikke helt før nå
skjønte ikke helt eksemplet men ser nå hva som skjer, man bruker k+1 i summeuttrykket, dette skal vi bevise.
så bruker man p_k i summeuttrykket, og adderer det med k+1 i ledduttrykket siden 1,2,3,4...k,k+1
skjønte det ikke helt før nå
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Ved regning: [tex](-1)^k=-(-1)^{k+1}[/tex], så kan man faktorisere ut (-1)^k.
[tex]A=1^2+3^2+...+(2k-1)^2=(2-1)^2+(4-1)^2+...+(2k-1)^2 \\ =(2^2+4^2+...+(2k)^2)-2(2+4+6+...+2k)+(1+1+...+1)_{k}= \\ 4(1^2+2^2+...+k^2)-4(1+2+...+k)+k =\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}-2k(k+1)+k=\frac{k(4k^2-1)}{3}[/tex]
Og
[tex]B=2^2+4^2+...+(2k)^2=4(1^2+2^2+...+k^2)=\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}[/tex]
Så [tex]P_{2k}=\sum^{2k}_{i=1} (-1)^i i^2 =B-A[/tex], og [tex]P_{2k-1}=\sum^{2k-1}_{i=1} (-1)^i i^2 = B-A -(2k)^2[/tex]
Dette gir nå videre at [tex]P_{2k}=k(2k+1)[/tex], og at [tex]P_{2k-1}=k(1-2k)[/tex], som gir at [tex]P_n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for partall n, og [tex]P_n=-\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for odde n.
Eller at [tex]P_n=(-1)^n \cdot \frac{n(n+1)}{2}[/tex] for alle n.
Hvor man kun bruker de velkjente lukkede formene for summen av etterfølgende kvadrater, og summen av etterfølgende heltall, som forsåvidt også kan finnes uten bruk av induksjon (selv om jeg ikke kjenner til måten å bevise formelen for summen av kvadrattallene uten induksjon)
Og
[tex]B=2^2+4^2+...+(2k)^2=4(1^2+2^2+...+k^2)=\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}[/tex]
Så [tex]P_{2k}=\sum^{2k}_{i=1} (-1)^i i^2 =B-A[/tex], og [tex]P_{2k-1}=\sum^{2k-1}_{i=1} (-1)^i i^2 = B-A -(2k)^2[/tex]
Dette gir nå videre at [tex]P_{2k}=k(2k+1)[/tex], og at [tex]P_{2k-1}=k(1-2k)[/tex], som gir at [tex]P_n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for partall n, og [tex]P_n=-\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for odde n.
Eller at [tex]P_n=(-1)^n \cdot \frac{n(n+1)}{2}[/tex] for alle n.
Hvor man kun bruker de velkjente lukkede formene for summen av etterfølgende kvadrater, og summen av etterfølgende heltall, som forsåvidt også kan finnes uten bruk av induksjon (selv om jeg ikke kjenner til måten å bevise formelen for summen av kvadrattallene uten induksjon)