vis hva resten er

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

vis hva resten er

Innlegg kalleja » 24/09-2007 15:50

hva er resten til følgende sum delt på 4?

[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Innlegg Charlatan » 24/09-2007 17:58

Hmmm...

Med resten mener du vel den delen som ikke går opp i 4? Altså, resten kan være 0, 0.25 eller 0.75

Jeg tolker det slik:

Det blir summen:

[tex]\sum_{i=1}^{100} i^5[/tex]

Ok, here's what I got:

Sett først opp alle partallene som èn del:

[tex](2^5+4^5+6^5+8^5+....+100^5)[/tex] Vi vet at alle disse er delelige på 4, fordi alle partall har en faktor 2, og 2^5 kan deles på 4.

Derfor kan vi se bort ifra partallene, de gir ingen rest.

Så var det oddetallene:

Vi deler de opp i par slik som dette:

[tex](1^5+3^5)+(5^5+7^5)+...+(97^5+99^5)[/tex]

Vi ser om et oddetallparet [tex](2k+1)^5 +(2k+3)^5[/tex] er delelig på 4:

[tex](2k+1)^5 ={5\choose 0}(2k)^5+{5\choose 1}(2k)^4+{5\choose 2}(2k)^3+{5\choose 3}(2k)^2+{5\choose 4}(2k)+{5\choose 5}[/tex]

[tex](2k+3)^5= {5\choose 0}(2k)^5+{5\choose 1}(2k)^4\cdot 3+{5\choose 2}(2k)^3\cdot 3^2+{5\choose 3}(2k)^2\cdot3^3+{5\choose 4}(2k)\cdot 3^4+{5\choose 5} 3^5[/tex]

Vi ser at vi kan se bort ifra de fire første leddene i hver eksansjon fordi de er delelige på 4 siden de består av en faktor 2 opphøyd i en eksponent høyere eller lik 2.

Når vi plusser sammen de resterende leddene som ikke går opp i 4 får vi:

[tex]({5\choose 4}(2k)+{5\choose 5})+({5\choose 4}(2k)\cdot 3^4+{5\choose 5} 3^5) = (10k+1)+(810k+243)=820k+244[/tex]

Vi ser at dette også er delelig på 4, derfor vil alle ledd i summen gi 0 i rest fordi alle oddetallparledd kan skrives på denne måten når k er et helt tall.

(Jeg vil ikke trekke noen bastante konklusjoner, men jeg tror dette skal være riktig)

Hvordan skriver man store paranteser?
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg sEirik » 24/09-2007 19:27

Skriv \left ( \right ) for å få tilpasset størrelse.

Eks: hold musa over for å se koden

[tex]\left ( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \right )[/tex]
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg kalleja » 25/09-2007 00:05

Dette stemmer ;)
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Re: vis hva resten er

Innlegg daofeishi » 25/09-2007 01:03

kalleja skrev:hva er resten til følgende sum delt på 4?

[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]


En annen mulig løsning:

[tex]\sum _{n=1} ^{100} n^5 \equiv 25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \equiv 1(1+0+3+0) \equiv 0 \pmo 4[/tex]

Så resten er 0.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg sEirik » 25/09-2007 15:14

Når kommer tallteori-innføringen din, daofeishi? :P Abel-konkurransen nærmer seg med stormskritt... hehe
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg daofeishi » 26/09-2007 08:29

Hohoho, godt spørsmål. Magnus og jeg har snakket om den innføringen i over ett år nå. En god del er skrevet, en god del gjenstår. Jeg tror jeg vil dele heftet inn i to deler, en med grunnleggende prinsipper (divisbilitet, lineære diofantiske likninger, den Euklidiske algoritme...) og en del som tar for seg modulær aritmetikk. Jeg skal prøve å få ferdig første del om ikke alt for lenge (hva nå enn det betyr. Hvis jeg skynder litt på kan det bli om et par uker). Ikke vær redd for å sparke meg litt i rumpa av og til for å få fortgang i det.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Magnus » 26/09-2007 10:47

Hvorfor er du ikke på msn i kina?
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg mrcreosote » 26/09-2007 11:40

Du kan kanskje kikke litt her, Eirik: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... lflind.pdf

Jeg har ikke brukt det, så kan ikke uttale meg videre om kvaliteten.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg daofeishi » 26/09-2007 12:07

Magnus skrev:Hvorfor er du ikke på msn i kina?


Fordi MSN i Kina er like stabilt som nitroglyserin. Du finner meg derimot på det "statlig godkjente" QQ-chat. ;)
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Re: vis hva resten er

Innlegg kalleja » 26/09-2007 16:09

daofeishi skrev:
kalleja skrev:hva er resten til følgende sum delt på 4?

[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]


En annen mulig løsning:

[tex]\sum _{n=1} ^{100} n^5 \equiv 25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \equiv 1(1+0+3+0) \equiv 0 \pmo 4[/tex]

Så resten er 0.


kan du utdype hva du gjør her :) ?
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Innlegg Charlatan » 26/09-2007 16:15

Hvor er bevisoppgaven fra?
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg kalleja » 26/09-2007 16:19

Elementary number theory av David M. Burton, sixth edition.
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Re: vis hva resten er

Innlegg daofeishi » 26/09-2007 16:30

kalleja skrev:
daofeishi skrev:
kalleja skrev:hva er resten til følgende sum delt på 4?

[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]


En annen mulig løsning:

[tex]\sum _{n=1} ^{100} n^5 \equiv 25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \equiv 1(1+0+3+0) \equiv 0 \pmod 4[/tex]

Så resten er 0.


kan du utdype hva du gjør her :) ?


Vi vet fra modulær aritmetikk at dersom [tex]a \equiv b \pmod m[/tex] og [tex]c \equiv d \pmod m[/tex] så gjelder at [tex]ac \equiv bd \pmod m[/tex]. Det følger direkte at dersom [tex]a \equiv b \pmod m[/tex] så vil [tex]a^5 \equiv b^5 \pmod m[/tex]

Siden det fra tallene 1 til 100 er 25 tall kongruente til 1 (mod 4), 25 tall kongruente til 2 (mod 4), 25 til 3 (mod 4) og 25 til 0 (mod 4), kan vi forenkle hele kongruensen til [tex]25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \pmod 4[/tex]
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg kalleja » 26/09-2007 16:47

der ja :) takk.
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester