Ble litt feilformulert mitt forrige spørsmål.
Det jeg egentlig er ute etter, er et eksempel på en forklaring hvorfor minus ganget med minus blir pluss. Skal evt. brukes i undervisning i 8. klasse. (Ikke lett å godta dette når en ikke kan vise til et eksempel)
Minus gange minus
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Den andre tråden??Realist1 skrev:Det står på slutten i den andre tråden.
Tenkte det kunne være greit å vise andre en lovise hvor man finner den:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=15403
Vi kan slenge på litt formalisme her:
Hva "er" egentlig tallet (-1)??
Jo, det er et tall som lagt til 1 gir 0 som svar!
Altså:
1+(-1)=0
Videre, vi vet at vi kan gange hver side av en likhet med det samme tallet.
De to nye uttrykkene er like store som hverandre, så likhetstegnet kan bevares.
La oss gange hver side med (-1) og se hva som skjer:
(-1)*(1+(-1))=0*(-1)
Vi husker om parentes om hele venstre side!
Nå er 0 ganger et hvilket som helst tall 0, og vi har lov til å gange ut en parentes.
Gjør vi dette, får vi:
(-1)*1+(-1)*(-1)=0
Nå er 1 ganget med et hvilket som helst tall lik tallet, derfor får vi:
(-1)+(-1)*(-1)=0
Legg merke til at jeg beholder det mystiske produktet (-1)*(-1), jeg skal bevise at dette er lik 1.
Nå kan vi legge til 1 på hver side av likhetstegnet, og få:
1+(-1)+(-1)*(-1)=0+1
Nå vet vi at 1+(-1)=0, og at hvis vi legger 0 til et annet tall, får vi ut tallet selv.
Derfor står vi igjen med:
(-1)*(-1)=1
Vi kan videre vise at et hvilket som helst negativt tall, (-a) kan skrives som produktet (-1)*a. Dermed er vi essensielt ferdig med å bevise at "minus ganger minus er pluss".
Hva "er" egentlig tallet (-1)??
Jo, det er et tall som lagt til 1 gir 0 som svar!
Altså:
1+(-1)=0
Videre, vi vet at vi kan gange hver side av en likhet med det samme tallet.
De to nye uttrykkene er like store som hverandre, så likhetstegnet kan bevares.
La oss gange hver side med (-1) og se hva som skjer:
(-1)*(1+(-1))=0*(-1)
Vi husker om parentes om hele venstre side!
Nå er 0 ganger et hvilket som helst tall 0, og vi har lov til å gange ut en parentes.
Gjør vi dette, får vi:
(-1)*1+(-1)*(-1)=0
Nå er 1 ganget med et hvilket som helst tall lik tallet, derfor får vi:
(-1)+(-1)*(-1)=0
Legg merke til at jeg beholder det mystiske produktet (-1)*(-1), jeg skal bevise at dette er lik 1.
Nå kan vi legge til 1 på hver side av likhetstegnet, og få:
1+(-1)+(-1)*(-1)=0+1
Nå vet vi at 1+(-1)=0, og at hvis vi legger 0 til et annet tall, får vi ut tallet selv.
Derfor står vi igjen med:
(-1)*(-1)=1
Vi kan videre vise at et hvilket som helst negativt tall, (-a) kan skrives som produktet (-1)*a. Dermed er vi essensielt ferdig med å bevise at "minus ganger minus er pluss".
Pent, men ikke en særlig egnet forklaring til en som skal lære seg at - gange - blir pluss. 
Det er ikke slik at alt i matematikken trenger å være logisk, ofte er resultatet av en serie (logiske) resonnementer ikke logisk i seg selv, men vi må godta det siden det er et resultat av logikk. Sånn mener jeg det er med minus gange minus. Det er ikke innlysende at det blir pluss, men ved for eksempel beviset ovenfor må vi godta at det er slik.
Det er ikke slik at alt i matematikken trenger å være logisk, ofte er resultatet av en serie (logiske) resonnementer ikke logisk i seg selv, men vi må godta det siden det er et resultat av logikk. Sånn mener jeg det er med minus gange minus. Det er ikke innlysende at det blir pluss, men ved for eksempel beviset ovenfor må vi godta at det er slik.
For en som skal lære BORT at "minus gange minus er pluss" er det påkrevet etter min mening at personen forstår den egentlige grunnen.Jarle10 skrev:Pent, men ikke en særlig egnet forklaring til en som skal lære seg at - gange - blir pluss.
Ellers vil personen finne på dumme og misvisende eksempler og bedrive vranglære overfor de søte små..
Selvfølgelig, hvis vi antar at de "søte små" FORSTÅR dette, så ville det vært den ideelle metoden. Men etter all sannsynlighet vil barna bli mer forvirret hvis læreren skriver dette på tavla. Det er viktig at barna at barna forstår hvorfor ting er slik og slik, men det bør ikke gå ovenfor at de forstår AT det er slik.
Vi ble lært at minus gange minus blir pluss ved denne:
[tex]+\cdot+=+ \\ +\cdot-=- \\ -\cdot+=- \\ -\cdot-=+[/tex]
Og jeg har ikke hatt traumer eller mentale barrierer i senere tid.
Vi ble lært at minus gange minus blir pluss ved denne:
[tex]+\cdot+=+ \\ +\cdot-=- \\ -\cdot+=- \\ -\cdot-=+[/tex]
Og jeg har ikke hatt traumer eller mentale barrierer i senere tid.
Jeg sa ikke at dette skulle brukes på tavla; jeg sa at læreren som skal lære dette bort skal forstå det.Jarle10 skrev:Selvfølgelig, hvis vi antar at de "søte små" FORSTÅR dette, så ville det vært den ideelle metoden. Men etter all sannsynlighet vil barna bli mer forvirret hvis læreren skriver dette på tavla. Det er viktig at barna at barna forstår hvorfor ting er slik og slik, men det bør ikke gå ovenfor at de forstår AT det er slik.
Lovise gjør det tydelig at hun underviser elever i 8.klasse, derfor er det påkrevet at hun faktisk selv forstår hvorfor dette er sant, før hun finner på billedlige måter å fremstille det for podene sine..
Forøvrig er et "tall-linje"-argument om "posisjon, tid, hastighet" en grei visualisering av fortegnsregler:
La en bil ved tidspunktet t=0 befinne seg i origo.
Har den positiv hastighet v, så vil bilen for t>0 være til høyre for 0-posisjonen, dvs v*t>0 (v,t>0)
Hvis bilen har negativ hastighet v vil, for t>0, v*t<0.
Hvis vi antar at bilen var i bevegelse før t=0, og da hadde positiv hastighet v, så vil v*t<0, for t<0.
Dvs, før bilen når origo vil den ha vært på den negative siden av origo.
Tilsvarende, hadde bilen negativ hastighet før t=0, så er v*t>0 for t<0; bilen var på den positive siden av 0.
Dette kan lett tegnes opp på tavla!
La en bil ved tidspunktet t=0 befinne seg i origo.
Har den positiv hastighet v, så vil bilen for t>0 være til høyre for 0-posisjonen, dvs v*t>0 (v,t>0)
Hvis bilen har negativ hastighet v vil, for t>0, v*t<0.
Hvis vi antar at bilen var i bevegelse før t=0, og da hadde positiv hastighet v, så vil v*t<0, for t<0.
Dvs, før bilen når origo vil den ha vært på den negative siden av origo.
Tilsvarende, hadde bilen negativ hastighet før t=0, så er v*t>0 for t<0; bilen var på den positive siden av 0.
Dette kan lett tegnes opp på tavla!