Merkelig

[Charlatan]

Hva er galt med beviset?

Vi skal bevise at $\sqrt{4}$ er irrasjonell.

Anta at $\sqrt{4}$ er rasjonell:

Da vil det kunne uttrykkes som en nedkortet brøk:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b}=\sqrt{4} \\ {a}^2=4b^2 \end{gathered}$$

Vi ser at a er delelig på 4, så det går an å si at a=4k hvor k er et helt tall.

$$\begin{gathered} \frac{4k}{b}=\sqrt{4} \\ 16k^2=4b^2 \\ 4a^2=b^2 \end{gathered}$$

b kan altså også deles på 4.

Dette er en motsigelse siden brøken skulle være ferdig forkortet.

$\sqrt{4}$ kan altså ikke skrives som brøk og er dermed irrasjonell.

Dette er akkurat samme framgangsmåte for å bevise at roten av forskjellige tall er irrasjonell. Kan noen forklare hvorfor beviset er feil?

[fish]

Hvis $a^2=4b^2$ er det en feilslutning å si at $a$ må være delelig med 4. $a^2$ derimot...

[Sonki]

Jeg er ikke sikker, men jeg går ut ifra at feilen ligger i antakelsen at hvis

$a^2=4b^2$ gir at $a=4k$
Vi observer ikke at a er delelig med 4 i ligningen over, men kvadratet av a er delelig med 4. dette impliserer at a er delelig med 2.

Jeg tror det er her feilen ligger, men jeg er som sagt ikke sikker.

ser ut som jeg var litt sen...

[Charlatan]

Kunne du forklare det litt mer ?

Med dette antar vi jo at a må bestå av kvadratroten av 4, altså to. Men vi vet jo ikke om dette tallet er rasjonelt.

Ville det ikke vært det samme som å si at det er feilslutning å si at a er delelig på 3 når $a^2=3b^2$, men at $a^2$ er delelig på 3.

[Charlatan]

Kan en mulig grunn være slik:

$a^2=n{b}^2$ må a være delelig med n hvis $\sqrt{n}$ ikke er et helt tall. Dette finner vi ut ved å gange alle positive hele tall mellom 0 og n for å se om de gir n. Hvis ikke, er ikke $\sqrt{n}$ et helt tall, og kan altså ikke være en faktor i a. da må n være en faktor i a, siden vi vet at $a^2$ er delelig på n.

I dette tilfellet ser vi at $4$ kan skrives som $2\ast 2$ og $\sqrt{4}$kan derfor skrives som et helt tall. Vi får at hvis $a^2$ kan deles på 4 betyr det ikke at a kan deles på 4, men det betyr også at $\sqrt{4}$ ikke er irrasjonelt.

Jeg trenger et svar på dette, det plager meg litt.

[mrcreosote]

Siden du veit at (a,b)=(2,1) vil oppfylle antagelsen (sjøl om du egentlig prøver å motbevise den), kan du prøve å lese gjennom beviset med disse verdiene og se hvor overgangen blir feil.

[Charlatan]

Ja, jeg skjønner jo at det er feil å anta at a er delelig med 4 når $a^2$ er delelig med 4. Det er jo opplagt! Men poenget er jo at man ikke vet at roten av 4 er et helt tall, og ikke kan anta med det første at roten av 4 kan være en faktor av a, for a må være et helt tall. (Du må anta at a må ha faktorer utelukkende av hele tall.)
--

La oss si at $a^3=3b^2$

Vi kan ikke anta at 3 er et en faktor av a, fordi roten av 3 kan være en faktor av a. Blir ikke dette samme tankegang?

Jeg vet det høres absurdt ut, men håper dere forstår poenget mitt.

[arildno]

3 er et primtall.
Aritmekkens fundamentalteorem sikrer odd en unik primtallsfaktorisering av et tall.

Dette er tilstrekkelig for å vise at hvis et kvadrat av et heltall er delelig med et gitt primtall, så må tallet selv være delelig med primtallet.

4 fungerer ikke, siden det ikke er et primtall.

[Charlatan]

Meningen var å generalisere. Anta et annet tall som ikke er primtall, og ikke har heltallig rot.

Ut ifra den siste setningen din: mente du at bevisene for irrasjonaliteten av røtter av tall som ikke er primtall ikke kan bevises med samme metode som man beviser at primtall er irrasjonelle?

[kalleja]

kan noen føre beviset på hvorfor roten av 4 eller hvilket som helst kvadrattall er rasjonale da?

[Homer]

kan noen føre beviset på hvorfor roten av 4 eller hvilket som helst kvadrattall er rasjonale da?

Er ikke det ganske åpenlyst? Kvadratall er jo hele tall, så det er jo bare å gange med a/a, der a et et heltall, så har du en brøk hvor teller og nevner er heltall. Mulig jeg missforsto hva du mente da...

[kalleja]

Jeg mente slik som at når man beviser at roten av 2 er irrasjonal, så kan man anta at roten av 2 er rasjonal og se etter en motsigelse.

- Slik at du antar at roten av 4 er irrasjonal og ser etter en motsigelse. Mulig det er lett, men har ikke gjort så mange slike bevis...