tricky oppgave

[terje1337]

Skjønner ikke hvordan jeg skal gjøre dette..

Oppgaven er:

Use the formula

[tex]sinh+sin2h+sin3h+...+sinmh=\frac{cos(\frac{h}{2})-cos((m+(\frac{1}{2}))h)}{2sin(\frac{h}{2})}[/tex]

to find the area under the curve [tex]y=sinx[/tex] from x=0 to x=[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] in two steps:

a. Partition the interval [tex][0,\frac{\pi}{2}][/tex] into n subintervals of equal length and calculate the corresponding and nonnegative sum U; then

b. Find the limit of U as n-> [symbol:uendelig] and [tex]\Delta x = \frac{(b-a)}{n} \rightarrow 0[/tex]

[arildno]

Husk:
[tex]\sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})[/tex]
Dermed er:
[tex]\sum_{n=1}^{m}\sin(nx)=\frac{1}{2i}\sum_{n=1}^{m}((e^{(ix)})^{n}-(e^{(-ix)})^{n}))[/tex]
Hvordan kan du nå fortsette?

[terje1337]

er det der sinus uttrykt med komplekse tall? det har vi ikke lært enda.. Oppgaven der er fra del kapitlet med riemannsummer. Men kan man ikke bruke formelen vi har fått der? skjønner ikke helt hva jeg skal med sinus uttrykket du skrev med e opphøyd i komplekse tall osv

[fish]

Riemannsummen basert på høyre intervallgrense og n delintervaller blir

[tex]U=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{k\left(\frac{\pi}{2}-0\right)}{n}\right)\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-0}{n}[/tex]

Hvis du her setter [tex]h=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{n}=\frac{\pi}{2n}[/tex], og bruker den oppgitte formelen, finner du

[tex]U=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4n}\right)-\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{2n}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right)}\cdot\frac{\pi}{2n}[/tex]

Når du så lar [tex]n\rightarrow \infty[/tex], finner du [tex]\frac{\frac{\pi}{2n}}{2\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right)}\rightarrow 1[/tex]

Videre er det lett å se at telleren går mot 1, slik at altså [tex]U\rightarrow 1[/tex]

[arildno]

er det der sinus uttrykt med komplekse tall? det har vi ikke lært enda.. Oppgaven der er fra del kapitlet med riemannsummer. Men kan man ikke bruke formelen vi har fått der? skjønner ikke helt hva jeg skal med sinus uttrykket du skrev med e opphøyd i komplekse tall osv

Uff, ja!
Leste ikke så nøye; trodde du skulle bevise formelen i en av deloppgavene.

Beklager..

[zell]

Hvorfor er det slik at:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} 4n\sin{\frac{\pi}{4n}} = \pi[/tex] ?

For:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \sin{\frac{\pi}{4n}} = 0[/tex]

Så jeg tenker: (EDIT: Går tydeligvis ikke an å anvende denne)

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} 4n \ \cdot \ \lim_{n \rightarrow \infty} \sin{\frac{\pi}{4n}} = 0[/tex]

Men likevel, hvorfor blir grenseverdien [tex]\pi[/tex]?

[arildno]

Og hva går 4n mot da, når n vokser over alle grenser?

[mrcreosote]

La [tex]h=\frac\pi{4n}[/tex] slik at h går mot 0 og se om du ikke får en kjent grenseverdi.

[zell]

Da tror jeg at jeg forstod det.

[tex]\lim_{n\rightarrow\infty} 4n \ \cdot \ \sin{\frac{\pi}{4n}}[/tex]

[tex]h = \frac{\pi}{4n}[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\pi}{h} \ \cdot \ \sin{h}[/tex]

Her vil jo [tex]\sin{h} \rightarrow h \ \text{n{\aa}r h \rightarrow 0}[/tex]

Dermed får vi:

[tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\pi}{\cancel{h}} \ \cdot \ \cancel{h} = \pi[/tex]

For å anvende dette når jeg bruker [tex]n\rightarrow \infty[/tex]

Er det riktig å skrive det slik:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \sin{\frac{\pi}{4n}} \rightarrow \ \frac{\pi}{4n} \ \text{n{\aa}r} \ n\rightarrow \infty[/tex] Og vi ender dermed opp med:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \ \cancel{4n} \ \cdot \ \frac{\pi}{\cancel{4n}} = \pi[/tex] ?

[mrcreosote]

Tja, det er vel kanskje ikke feil, men jeg er ikke helt fan av den der. Trur jeg hadde gjort noe som "La h=1/(4npi). Da vil [tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\dots = \lim_{h\rightarrow0}\dots = \pi[/tex]."

[zell]

Men må jeg ikke vise hvorfor grenseverdien da vil bli [tex]\pi[/tex], ved å få fjernet "n" eller "h". Eller holder det at jeg personlig ser det?

[mrcreosote]

Grenseverdien til sin x/x når x går mot 0 kan du regne for kjent om du er på uni.nivå.

[zell]

Okey, flott. Takk skal du ha for hjelpen!