Volum

[Sasha]

Hvordan finner jeg dette da?

La R være flatestykket i xy-planet som er avgreneset av kurvene

[tex]x=1[/tex]
[tex]x=2[/tex]
[tex]y=-x^2[/tex]
[tex]y=x[/tex]

La T være rotasjonslegemet som dannes når R roteres om y-aksen.

a) Finn volumet av T.
b) Finn arealet av overflaten til T.

[arildno]

a) Del opp i fire problemer:
i) Finn volumet av sylinderen!
ii) Finn volumet av kjeglen snittet ut av sylinderen!
iii) Finn volumet av paraboloiden snittet ut av sylinderen!
iv) Volumet av det søkte objekt er nå sylindervolumet minus de to andre volumene.

[Sasha]

tenkte å dele volumet på 2, og dermed addere de senere.

dele de på tvers av x aksen.

slik at volumet av overdelen bir

[tex]V = \pi\int_0^1 (y)^2 dy[/tex]

siden y=x og x=y

[Sasha]

volumet av sylinderen:

[tex]\pi \int_{-1}^1 dy = \pi*[y]_{-1}^1 = \pi((1)-(-1)) = 2\pi[/tex]

volumet av kjeglen:

[tex]\pi \int_0^1 y dy = \pi*[\frac{1}{2} y^2]_{0}^1 = \pi(\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{2}\pi[/tex]

[arildno]

1. Objektet er IKKE symmetrisk om x-aksen; derfor kan du ikke gå utifra at begge delene har samme volum! (men volumoppdelingsmåten din er prinsipielt okay)

2. Integranden din er helt feil.
I en gitt y (el x-) høyde, vil du ikke ha en komplett sirkelskive i omdreiningslegemet ditt, men en sirkelskive med et sirkelrundt hull i!

Enig?

[Sasha]

Volumet av paraboloiden:

[tex]\pi \int_{0}^1 \sqrt{x} dx = \pi*[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^1 = \pi (\frac{2}{3}-0) = \frac{2}{3}\pi[/tex]

[Sasha]

1. Objektet er IKKE symmetrisk om x-aksen; derfor kan du ikke gå utifra at begge delene har samme volum! (men volumoppdelingsmåten din er prinsipielt okay)

2. Integranden din er helt feil.
I en gitt y (el x-) høyde, vil du ikke ha en komplett sirkelskive i omdreiningslegemet ditt, men en sirkelskive med et sirkelrundt hull i!

Enig?

hmm, skal jeg bare finne volumet av sylindere med formler da? uten å integrere? hvordan integrerer jeg rett da isåfall? :S

[Sasha]

jeg vet at objektet ikke er symetrisk derfor jeg finner ut volumet av både paraboloid og kjegle.

[Sasha]

skjønner ikke helt det med sirkelhull, mener du sylinderen eller kjeglen?

[arildno]

skjønner ikke helt det med sirkelhull, mener du sylinderen eller kjeglen?

Jeg skrev det før du posta oppdelingen i kjegle og sylinder, og misforsto hva du mente.

[Sasha]

å ja oki, ser det rett ut da? da er det vel bare å trekke ifra osv?

[arildno]

Volumet av kjeglen, og nok paraboloiden er feil!

I høyden y=1 er radien i sirkelskiven 1, så arealet der er pi*1^2=pi
Mens i høyden y=0 er radien 0. Generelt er radien r=y, så arealet som funksjon av høyden y er [tex]A(y)=\pi{y}^{2}[/tex]
Dermed blir volumet V av kjeglen:
[tex]V=\int_{0}^{1}\pi{y}^{2}dy=\frac{1}{3}\pi{1}^{3}=\frac{\pi}{3}[/tex]
Legg merke til at dette overensstemmer med den gamle formelen for volum av en kjegle:
Volum=1/3*grunnflate (her pi!)*høyde (her 1!)

[Sasha]

Volumet av kjeglen, og nok paraboloiden er feil!

I høyden y=1 er radien i sirkelskiven 1, så arealet der er pi*1^2=pi
Mens i høyden y=0 er radien 0. Generelt er radien r=y, så arealet som funksjon av høyden y er [tex]A(y)=\pi{y}^{2}[/tex]
Dermed blir volumet V av kjeglen:
[tex]V=\int_{0}^{1}\pi{y}^{2}dy=\frac{1}{3}\pi{1}^{3}=\frac{\pi}{3}[/tex]
Legg merke til at dette overensstemmer med den gamle formelen for volum av en kjegle:
Volum=1/3*grunnflate (her pi!)*høyde (her 1!)

ja , ser at jeg har gjort feil.

men jeg har også gjort en annen feil , i oppgaven sto det vist x=2 også , så volumet bli nå helt annet >_< må regne om alt på nytt.

[orjan_s]

Noen som har tips til b på denne?

hvilken metode burde jeg bruke?

[orjan_s]

det var rolig her i dag...
har alle ferie?
trenger et lite hint...