Primtall-ligning

[mrcreosote]

Finn alle primtall p og q så $p^3-q^5=(p+q{)}^2$.

[Solar Plexsus]

Den diofantiske likningen

$(1)p^3-q^5=(p+q{)}^2(\mathrm{mod}3)$ (p og q er primtall)

gir kongruenslikningen

$(2)p^3-q^5\equiv (p+q{)}^2(\mathrm{mod}3).$

Ved innsetning finner vi at ingen av de 4 restparene $(p,q)$ der $\text{Extra close brace or missing open brace}$ tilfredsstiller (2). Ergo må p=3 eller q=3. Ifølge (1) må $p^3-2^5>0,$ dvs. at p > 3. Altså er q=3, som innsatt i (1) resulterer i kongruenslikningen

$q^5+q^2\equiv 3^2(3^3+1)=3^2\cdot 2^2\cdot 7\equiv 0(\mathrm{mod}p).$

Herav følger at p=7 er eneste mulighet. I.o.m. at

$7^3-3^5=343-243=100=(7+3{)}^2,$

kan vi konkludere med at kongruenslikningen (1) kun har en løsning, nemlig (p,q) = (7,3).