Dette er veldig enkelt og veldig rett frem, men jeg tar det fordi resultatet har jeg funnet veldig nyttig mangt en gang.
[tex]sin\gamma = \frac{e^{i\gamma} - e^{-i\gamma}}{2i}[/tex]
[tex]\frac{e^{i\gamma} - e^{-i\gamma}}{2i} = u[/tex]
[tex]e^{i\gamma} - e^{-i\gamma} = 2iu[/tex]
[tex]e^{i\gamma} - e^{-i\gamma} = 2iu |\cdot e^{i\gamma}[/tex]
[tex](e^{i\gamma})^2 - 1 = 2iue^{i\gamma}[/tex]
[tex](e^{i\gamma})^2 - 2iue^{i\gamma} - 1 = 0[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{(2iu)^2 + 4}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{4 - 4u^2}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{4(1-u^2)}}{2} [/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm 2\sqrt{1-u^2}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = iu \pm \sqrt{1-u^2}[/tex]
[tex]i\gamma = \ln(iu \pm \sqrt{1-u^2})[/tex]
[tex]\gamma = -i\ln(iu \pm \sqrt{1-u^2})[/tex]
(den virker for alle u inni C også)
Enkelt direkte bevis (Arcsin)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Den imaginære enheten i er (den positive) kvadratrota av -1.
Beviset ser ut til å stemme og kan også presenteres på den ekvivalente formen [tex]\arcsin(x)=i\ln(-ix\pm\sqrt{1-x^2})[/tex].
Beviset ser ut til å stemme og kan også presenteres på den ekvivalente formen [tex]\arcsin(x)=i\ln(-ix\pm\sqrt{1-x^2})[/tex].
jeg pleier å skrive
[tex]\arcsin(x) = -i\ln(ix \pm \sqrt{1-x^2}) + 2\pi n[/tex],
og hvis det skal være en funksjon pleier jeg og velge
[tex]\arcsin(x) = -i\ln(ix + \sqrt{1-x^2})[/tex]
og som mrcreosote sa, så er i et tall man har definert som kvadratroten av -1.
[tex]\arcsin(x) = -i\ln(ix \pm \sqrt{1-x^2}) + 2\pi n[/tex],
og hvis det skal være en funksjon pleier jeg og velge
[tex]\arcsin(x) = -i\ln(ix + \sqrt{1-x^2})[/tex]
og som mrcreosote sa, så er i et tall man har definert som kvadratroten av -1.