Oppgave

[Sonki]

en litt morsom oppgave jeg fant

Hva er summen av de reelle røttene til

$x^3-3x^2+3x+1=0$

den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da

[=)]

røttene? jeg finner bare én reell rot.

kanskje du mener

$x^3-3x^2+3x-1=0$?

(og bare for å pirke vil jeg si, hva er summen til de reelle løsningene av ligningen. de er jo røtter av tredjegrads funksjonen da.)

[Mayhassen]

Blir vel ikke så mange flere røtter med likningen din =)? Den ene skifter vel bare litt fortegn eller hur?

[=)]

det ble flere reelle røtter men antallet røtter er og vil alltid forbli tre i en tredjegrads funksjon

[Mayhassen]

Er det ikke bare en reell rot i begge da? 1 og -1?

[Charlatan]

Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:

$n(x-a)(x-b)(x-b)=n{x}^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc$

Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).

Her vil summen av de relle og de imaginære røttene $(a+b+c)=3$


De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent $-0.259921$ ifølge kalkulatoren.

Kan uansett lage en regel:

For en tredjegradsfunksjon $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ med røtter $x_1,x_2,x_3$ vil summen av disse være lik -ba

Altså:

$x_1+x_2+x_3=-ba$

Dette er med imaginære røtter da.

[Magnus]

For en tredjegradsfunksjon med én reell rot og to komplekse, vil de komplekse være komplekskonjugerte. Det er derfor summen av røttene blir et reellt tall.

[Mayhassen]

Akkurat Nå har jeg ikke hatt noe om imaginære tall så det vil vel bli klart en vakker dag

[Sonki]

Ligningen har jeg skrevet opp rett, og ja, det er bare en reele rot til oppgaven. Men jeg vil gjerne se en hurtig måte på hvordan man finner denne

[mrcreosote]

Hvis det i ligninga $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ gjelder at $a^2=3b$, er den ikke så vanskelig å løse.

Se på $x^3+a{x}^2+\frac{a^2}{3}x+c=0$ og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?

[=)]

hint(?):

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

[Carve]

$x^3-3x^2+3x+1$ = $x^3-3x+3x^2-1+2$
= $(x-1{)}^3+2=0$

=> x = 1 - 2^(1/3)

[Sonki]

stemmer