asymptoter?

[omega]

ei kurve er gitt ved:

y=(x^2-x+1)/x ; x>0

a) Bestem kurvens asymptoter. Finn eventuelle ekstremalpunkter og skisser kurva.

b) Finn det punktet på kurven som ligger nærmest punktet (0,-1).


Har ikkje vært så mye borti asymptoter . Trenger litt hjelp til det andre også.

[*Sorcerer*]

Du kan jo alltid plotte funksjonen for å finne asymptotene, men det er litt verre å vise det matematisk.

Vertikale asymptoter er lette å finne, de oppstår når f(x) går mot [symbol:plussminus] uendelig når x går mot et tall. Og det er der vi har et bruddpunkt i funksjonen. Altså for den x verdien der nevneren blir null.

Videre om asymptoter kan du lese her: http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=36

[omega]

Noen som vet hva som må gjøres på (b)?

[Charlatan]

Dette er hvordan jeg gjorde b:

Anta en sirkel i punktet $(0,-1)$

Funksjonen vil da bli:

$x^2+(y-1{)}^2=a^2$

Hvor a er radiusen til sirkelen.

De mulige verdiene for x og y er verdiene for x og f(x) i den opprinnelige funksjonen. Vi setter inn for verdiene:

$$\begin{gathered} x^2+(x-1+\frac{1}{x}-1{)}^2=a^2 \\ 2x^2+\frac{1}{x^2}=a^2 \\ a=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}} \end{gathered}$$

Vi har nå en funksjon $a=f(x)$ for avstanden a fra punktet til funksjonen. Vi vil finne ut når denne er minst.
[tex]f(x)=\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}[/tex]
Vi deriverer:
$f^{\prime }(x)=\frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}$

For å finne ut når denne er minst\mest setter vi den lik 0.

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=0 \\ \frac{4x-\frac{1}{x^3}}{2\sqrt{2x^2+\frac{1}{x^2}}}=0 \end{gathered}$$
Vi ser at denne funksjonen kun kan være lik 0 når $4x-\frac{1}{x^3}$ er lik 0, så vi setter:

$$\begin{gathered} 4x-\frac{1}{x^3}=0 \\ 4x=\frac{1}{x^3} \\ 4x^4=1 \\ {x}^4=\frac{1}{4} \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Dette må være en verdi som gjør radiusen til minst mulig fordi:
Den største mulige radiusen er uendelig, siden funksjonen har en vertikal asymptote.
Vi kan lage et fortegnsskjema for å bevise det, men jeg utelater det her.

Radiusen til sirkelen er altså minst når $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$

Punktene på grafen som ligger nærmest $(0,-1)$ er altså $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}-1),(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2}-1)$

Sikkert en mye lettere måte å regne det ut på

[Charlatan]

En annen lettere måte er forresten å sette opp en vektorfunksjon som beskriver avstandsvektoren fra punktet (0,-1) til et punkt på grafen. Finn lengden av denne, og så deriver for å finne ut når den er kortest.

[fish]

Det kom vel inn en liten fortegnsfeil i Jarle10 sin omfattende og gode utledning:

$a$ vil være definert ved

$x^2+(y+1{)}^2=a^2$

Den deriverte av $\frac{1}{x^2}$ ble visst også feil.

[Charlatan]

Det var litt hastig gjort noe av det, men poenget er forhåpentligvis forstått.