Jeg står virkelig fast på denne oppgaven, vet svaret, men aner ikke hvordan jeg skal komme frem til det. Problemet er slik:
Bruk tre trinn av Newtons metode til å bestemme radien i den største sirkelen det er plass til mellom x-aksen og grafen til y = e^-|x|.
Hint: Sirkelen og grafen til funksjonen har felles tangent i tangeringspunktet.
Noen som har noen forslag?
Max radius i sirkel v/Newtons metode
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Nei, det var dårlig med svar. Jeg snakker vel egentlig bare for meg sjøl (men ser ikke bort i fra at andre har det sånn også); dukker det opp økonomirekker, Newtons metode eller annet gruff hopper jeg fort videre til neste post. Den her var imidlertid litt interessant. Å sette opp uttrykka altså, ikke løse med tilnærminger.
Vi arbeider fra nå av bare i første kvadrant, symmetrien gjør at dette er greit.
Du kan få bruk for at tangenten til sirkelen [tex]x^2+(y-r)^2=r^2[/tex] i punktet (x_0,y_0) har ligning [tex]x_0x+(y_0-r)y=x_0^2+y_0^2-ry_0[/tex]. (Hastig utleda, garanterer ikke for denne.)
Samtidig er det ikke så vanskelig å finne tangenten til exp(-x). Bruk nå hintet i oppgava om at disse tangentene må være like og husk at tangeringspunktet som også skal ligge på sirkelen må ha formen (z,exp(-z)). Da skal det dukke opp to ligninger i r og x_0 som man nok må løse numerisk. Spør heller igjen om du ikke kommer videre. Lykke til!
Vi arbeider fra nå av bare i første kvadrant, symmetrien gjør at dette er greit.
Du kan få bruk for at tangenten til sirkelen [tex]x^2+(y-r)^2=r^2[/tex] i punktet (x_0,y_0) har ligning [tex]x_0x+(y_0-r)y=x_0^2+y_0^2-ry_0[/tex]. (Hastig utleda, garanterer ikke for denne.)
Samtidig er det ikke så vanskelig å finne tangenten til exp(-x). Bruk nå hintet i oppgava om at disse tangentene må være like og husk at tangeringspunktet som også skal ligge på sirkelen må ha formen (z,exp(-z)). Da skal det dukke opp to ligninger i r og x_0 som man nok må løse numerisk. Spør heller igjen om du ikke kommer videre. Lykke til!
På grunn av symmetri ligger sirkelens sentrum i (0,c), der c er radien. Anta at vi søker et tangeringspunkt der x>0.
At tangeringspunktet ligger både på sirkelen og eksponensialkurven, gir likningen:
[tex]x^2+\left(e^{-x}-c\right)^2=c^2[/tex] som er ekvivalent med (*) [tex]x^2+e^{-2x}-2ce^{-x}=0[/tex]
Linja fra sentrum til tangeringspunktet har stigningstall [tex]\frac{e^{-x}-c}{x-0}[/tex]
Tangentens stigningstall i tangeringspunktet blir [tex]-e^{-x}[/tex]
Siden produktet av stigningstallene til to linjer som står normalt på hverandre er -1 følger likningen:
[tex]\frac{e^{-x}-c}{x}=-\frac{1}{-e^{-x}}[/tex]
Altså
(**) [tex]\frac{e^{-x}-c}{x}=e^x[/tex]
Nå kan du finne et uttrykk for c fra begge likningene, (*) og (**), sette c=c og løse den fremkomne likningen i x vha Newtons metode. Til slutt setter du inn og bestemmer sirkelradien c.
At tangeringspunktet ligger både på sirkelen og eksponensialkurven, gir likningen:
[tex]x^2+\left(e^{-x}-c\right)^2=c^2[/tex] som er ekvivalent med (*) [tex]x^2+e^{-2x}-2ce^{-x}=0[/tex]
Linja fra sentrum til tangeringspunktet har stigningstall [tex]\frac{e^{-x}-c}{x-0}[/tex]
Tangentens stigningstall i tangeringspunktet blir [tex]-e^{-x}[/tex]
Siden produktet av stigningstallene til to linjer som står normalt på hverandre er -1 følger likningen:
[tex]\frac{e^{-x}-c}{x}=-\frac{1}{-e^{-x}}[/tex]
Altså
(**) [tex]\frac{e^{-x}-c}{x}=e^x[/tex]
Nå kan du finne et uttrykk for c fra begge likningene, (*) og (**), sette c=c og løse den fremkomne likningen i x vha Newtons metode. Til slutt setter du inn og bestemmer sirkelradien c.
Hei tusen takk for svar mrcreosote og fish. Det ser ut for meg som at dere har benyttet omtrent den samme fremgangsmåten så jeg skal prøve å vise hva jeg kom frem til ved hjelp av hintene.
fish:
Du mente jeg skulle løse de to likningene (*) og (**) m.h.p c og sette disse lik hverandre:
[tex] \Large \frac{x^2+exp(-2x)}{2exp(-x)} = \Large exp(-x)-x exp(x) [/tex]
Så ble jeg usikker på hva du mente, men regner med at du mente å omforme dette til et slags f(x)-utrykk som settes lik null og så benytte Newtons metode. Dvs:
[tex] \Large f(x) = x^2+2x-exp(-2x) = 0 [/tex]
[tex] \Large f^\prime(x) = 2x+2+2 exp(-2x) [/tex]
[tex] \Large x_{n+1} = x_n - \frac {f(x)}{f^\prime(x)} = x_n - \frac{x^2+2x-exp(-2x)}{2x+2+2 exp(-2x)}[/tex]
Gjør et rimelig anslag på [tex] x_0 = 0.5 [/tex] slik at ved Newtons metode blir:
[tex]x_1 = 0.264[/tex]
[tex]x_2 = 0.262[/tex]
[tex]x_3 = 0.262[/tex]
Er denne metoden rett og skal jeg sette [tex]x_3[/tex] inn i sirkel-likningen? For når jeg gjør det blir radien åpenbart gal (større enn 1):
[tex]r = \sqrt{0.262^2+(exp(-0.262))^2} = 1.068[/tex]
fish:
Du mente jeg skulle løse de to likningene (*) og (**) m.h.p c og sette disse lik hverandre:
[tex] \Large \frac{x^2+exp(-2x)}{2exp(-x)} = \Large exp(-x)-x exp(x) [/tex]
Så ble jeg usikker på hva du mente, men regner med at du mente å omforme dette til et slags f(x)-utrykk som settes lik null og så benytte Newtons metode. Dvs:
[tex] \Large f(x) = x^2+2x-exp(-2x) = 0 [/tex]
[tex] \Large f^\prime(x) = 2x+2+2 exp(-2x) [/tex]
[tex] \Large x_{n+1} = x_n - \frac {f(x)}{f^\prime(x)} = x_n - \frac{x^2+2x-exp(-2x)}{2x+2+2 exp(-2x)}[/tex]
Gjør et rimelig anslag på [tex] x_0 = 0.5 [/tex] slik at ved Newtons metode blir:
[tex]x_1 = 0.264[/tex]
[tex]x_2 = 0.262[/tex]
[tex]x_3 = 0.262[/tex]
Er denne metoden rett og skal jeg sette [tex]x_3[/tex] inn i sirkel-likningen? For når jeg gjør det blir radien åpenbart gal (større enn 1):
[tex]r = \sqrt{0.262^2+(exp(-0.262))^2} = 1.068[/tex]
Ja slurvet litt i utregningen der, det blir selvsagt:
[tex] \Large x_{n+1} = x_n - \frac {f(x)}{f^\prime(x)} = x_n - \frac{x^2exp(x)+2x exp(x) - exp(-x)}{4x exp(x)+x^2 exp(x)+2exp(x)+exp(-x)}[/tex]
Noe som pussig nok gir akkurat samme [tex]x_3[/tex]-verdi som tidligere:
[tex]x_1 = 0.309[/tex]
[tex]x_2 = 0.264[/tex]
[tex]x_3 = 0.262[/tex]
Men det går nå opp for meg at jeg puttet dette inn i feil formel for radien. Skulle selvsagt satt dette inn i (*) eller (**) løst m.h.p r. Gjør dette og får:
[tex] r = exp(-x) -x exp(x) = exp(-0.262) - 0.262 exp(0.262) =0.429 [/tex]
Som er akkurat det rette svaret! Tusen takk igjen fish og mrcreosote for at dere tok dere tid. Supert!
[tex] \Large x_{n+1} = x_n - \frac {f(x)}{f^\prime(x)} = x_n - \frac{x^2exp(x)+2x exp(x) - exp(-x)}{4x exp(x)+x^2 exp(x)+2exp(x)+exp(-x)}[/tex]
Noe som pussig nok gir akkurat samme [tex]x_3[/tex]-verdi som tidligere:
[tex]x_1 = 0.309[/tex]
[tex]x_2 = 0.264[/tex]
[tex]x_3 = 0.262[/tex]
Men det går nå opp for meg at jeg puttet dette inn i feil formel for radien. Skulle selvsagt satt dette inn i (*) eller (**) løst m.h.p r. Gjør dette og får:
[tex] r = exp(-x) -x exp(x) = exp(-0.262) - 0.262 exp(0.262) =0.429 [/tex]
Som er akkurat det rette svaret! Tusen takk igjen fish og mrcreosote for at dere tok dere tid. Supert!