Likning m. omgjøring fra tan til sin/cos

[Teds]

Hei!

Lurer litt på denne oppgava. Kommet godt på vei, men lukter noe muffens som jeg ikke får til å stemme.

v[0 , 360]

tan[sup]2[/sup]v - 4sin[sup]2[/sup]v = 0
sin[sup]2[/sup]v/cos[sup]2[/sup]v - (4sin[sup]2[/sup] * cos[sup]2[/sup]v)/cos[sup]2[/sup]v = 0

Samler alt på en brøk;
sin[sup]2[/sup]v - (4sin[sup]2[/sup]v * cos[sup]2[/sup]v)/cos[sup]2[/sup]v

Men hva nå?

[Mayhassen]

Hva går egentlig oppgaven ut på, skal du ha alle løsninger for vinkelen v?

[Teds]

v [0 , 360]

[Olorin]

husk at ${\sin }^{2}v+co{s}^{2}v=1$

$co{s}^{2}v=1-si{n}^{2}v$

$si{n}^{2}v=1-co{s}^{2}v$

Jeg får rundt 7 løsninger på den da:P

[Teds]

Må ærlig innrømme jeg ikke får det til..

[Olorin]

Litt usikker selv om jeg løser den ekstremt tungvint da. men det ser ut til at jeg har fått rett svar.

hvis du skriver om ${\sin }^{2}v=1-co{s}^{2}v$ får du følgende uttrykk:

$\frac{1-{\cos }^{2}v-4((1-co{s}^{2}v)\cdot co{s}^{2}v)}{{\cos }^{2}v}=0$

videre

$1-5{\cos }^{2}v+4{\cos }^{4}v=0$

$u={\cos }^{2}v$

$4u^2-5u+1$

$u=\frac{1}{4}\vee u=1$

${\cos }^{2}v=\frac{1}{4}\vee co{s}^{2}v=1$

Til slutt:

$\cos v=\pm \frac{1}{2}\vee \cos v=\pm 1$

Skal gi svar mellom $v\in [0,360]\to v\in \{0,60,120,180,240,300,360\}$

[daofeishi]

Mitt forslag til omforming:

$$\begin{gathered} {\tan }^2(v)-4{\sin }^2(v)=0 \\ ({\sec }^2(v)-1)-4(1-{\cos }^2(v))=0 \\ {\sec }^2(v)-5+4{\cos }^2(v)=0 \end{gathered}$$

Multipliser på begge sider med ${\cos }^2(v)$

$1-5co{s}^2(v)+4{\cos }^2(v)=(4{\cos }^2(v)-1)({\cos }^2(v)-1)=0$

Som essensielt er løsningsmetoden til Olorin

Edit: Jeg har benyttet meg av den trigonometriske funksjonen sekant - sec(x), som er definert som 1/cos(x) - hvis du ikke kjente til denne fra før av)

[Charlatan]

Hvorfor ikke $si{n}^{2}x(\frac{1}{co{s}^{2}x}-4)=0$
Så er det bare å finne ut når $sinx=0$ og når $cosx=\frac{1}{2}$

[Olorin]

Skulle funke fint den og, sparer litt bly på å bruke den omskrivningen

[daofeishi]

Ja, det er en mye bedre måte å gjøre det på Jarle, helt sant.