Anta at [tex]f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}[/tex] er en deriverbar funksjon. Vi ser på utsagnene:
I: f er diskontinuerlig
II: f er begrenset
III: Hvis [tex]a < a_1 < b_1 < b \ \text{og} \ f(a_1) < 0 < f(b_1), \ \text{s{\aa} finnes et tall} \ c \in (a_1,b_1) \ \text{slik at} \ f(c) = 0[/tex]
Da gjelder alltid:
1: I og II
2: II og III
3: I og III
4: II
5: III.
Kun ett svaralternativ er korrekt.
Jeg tror svaralternativ 2 er korrekt, altså utsagn II og III. Er dog ikke helt sikker på hva det vil si at en funksjon er begrenset, antar at det menes at f er definert innenfor et intervall, som jo denne funksjonen er.
Oppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Det at f er deriverbar i (a,b) forutsetter at f er kontinuerlig i (a,b). M.a.o. er utsagn I usant.
Av ekstremalverdisetningen følger at f er begrenset i (a,b), dvs. at det eksisterer reelle tall m og M slik at [tex]m \leq f(x) \leq M[/tex] for alle [tex]x \in (a,b).[/tex] Så utsagn II er sant.
Skjæringssetningen gir at utsagn III også er sant.
Konklusjon:Utsagn I gjelder aldri mens utsagnene II og III gjelder alltid. M.a.o. er svaralternativ 2 det korrekte.
Av ekstremalverdisetningen følger at f er begrenset i (a,b), dvs. at det eksisterer reelle tall m og M slik at [tex]m \leq f(x) \leq M[/tex] for alle [tex]x \in (a,b).[/tex] Så utsagn II er sant.
Skjæringssetningen gir at utsagn III også er sant.
Konklusjon:Utsagn I gjelder aldri mens utsagnene II og III gjelder alltid. M.a.o. er svaralternativ 2 det korrekte.
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Fasitsvaret er riktig. Ekstremalverdisetningen forutsetter nemlig at vi opererer på et lukket intervall. I dette tilfellet er intervallet åpent. F.eks. er den deriverbare funksjonen [tex]f(x) = 1/x[/tex] der [tex]D_f = (0,1)[/tex] ikke begrenset i.o.m. at [tex]V_f = (1,\infty)[/tex]. Følgelig er utsagn II usant, som igjen innebærer at svaralternativ 5 er det rette.