derivasjon!

[Niklass]

hei! har et problem angående en såkalt leseoppgave, der jeg ikke helt skjønner hvilken metode jeg skal benytte for å løse oppgava. oppgava er iallefall som følger:

"en båt seiler parallelt med en rettlinjet strand med konstant fart 12 knop( 12 nautiske mil pr. time) i avstand 4 nautiske mil fra stranda. Hvor fort nærmer den seg et fyrtårn på stranda i det øyeblikk den er nøyaktig 5 nautiske mil fra fyrtårnet?"

hadde vært flott med noen hjelpende ord, og hint=)

på forhånd takk

[zell]

Se for deg en rettvinklet trekant.

Første katet = langs strandlinje.

Andre katet = avstand fra båt til strandlinje.

Hypotenus = avstand fra båt til fyrtårn.

Kall strandlinja for x, og hypotenus for y.

Hvordan kan du uttrykke y? Hva er endring pr. tidsenhet i x-retning?

Hvordan finner du endring pr. tidsenhet i y-retning (langs hypotenus)?

[Niklass]

hm. første som slår meg er pythagoras for å finne et uttrykk for y. endring per tidsenhet for xer vel 12 knop. merker ikke helt klarer å koble teori i en sån praktisk oppgava. derivere implisitt kanskje?

[Olorin]

hvis y er pytagoras vet du at [tex]y^2=x^2+z^2[/tex] der z er avstanden fra båten og strandlinja (4 nm)

Du må derivere implisitt, du vet at dx/dt=12 dz/dt=0

Du trenger å finne dy/dt slik jeg har forstått oppgaven

[zell]

Du skal finne endring pr. tidsenhet i y-retning. Deriverer da y med hensyn på tid.

[tex]\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \ \cdot \ \frac{dx}{dt}[/tex]

[Niklass]

dy= 12 * 4 = 9,6 knop
dt 5

kan dette stemme el har jeg misforstått/ mistolka variablene her?[/u]

[Olorin]

Jeg fikk 7.2 knop, du brukte nok z isteden for x

[Niklass]

samsvarer med et svaralternativ her det=) tør jeg spørre hvilke regneoperasjoner du foretok for å 7,2?

hadde vært flott. mye av dette med implisitt derivasjon sitter ikke helt prenta inn i hjernebarken ennå.

[Olorin]

Hehe.. jasså er det flere rette svar?

Jeg løste den slik:

[tex]y^2=x^2+z^2[/tex]

gitt: y=5
z=4
x=[symbol:rot](5^2-4^2)=3
dx/dt=12
dz/dt = 0

Deriverer implisitt mhp t

[tex]2y\cdot\frac{dy}{dt}=2x\cdot\frac{dx}{dt}+2z\cdot\frac{dz}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dt}=\frac{2x\cdot\frac{dx}{dt}+2z\cdot\frac{dz}{dt}}{2y}[/tex]

Setter inn for den gitte situasjonen:

[tex]\frac{dy}{dt}=\frac{2\cdot 3\cdot 12 + 2\cdot 4\cdot 0}{2\cdot 5}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dt}=\frac{3\cdot 12}{5}=\frac{36}5[/tex]

[Niklass]

veldig flott oppsett og forklart, Olorin. hjertlig tusen takk;D
Satser på at implisitt derivasjon går bedre heretter.

takk til alle som har bidratt til å løse problemet=)

[Olorin]

Bare hyggelig, ligger et par andre "related rates" oppgaver i høgskole-forumet, som er fine å se på!

God natt =)