Invertibel matrise

[mrcreosote]

Fikk ei fin oppgave av en kamerat:

Hva er sannsynligheten for at ei vilkårlig matrise i $M({\mathbb{Z}}_p,n)$ der p er et primtall er invertibel?

[nybegynner]

Antall invertible matriser i gruppa:
Søylene til en invertible matrise er lineært uavhengige. Siden det er $p$ elementer for hver posisjon i en søyle av lengde $n$, er det $p^n$ mulige søyler. I tillegg kan vi ikke regne med $0$ vektoren slik at vi har $p^n-1$ søyler å velge mellom.
Den første søyla for en matrise i gruppa er det $p^n-1$ muligheter.
For den andre søyla for samme matrisen er det $p^n-p$ muligheter siden det er $p$ antall søyler i utspenninga til den første søyla.
For den tredje søyla for samme matrisen er det $p^n-p^2$ muligheter siden det er $p^2$ antall søyler i utspenninga til den første og andre søyla.
...
For den $k$-te søyla er det $p^n-p^{k-1}$ muligheter siden det er $p^{k-1}$ antall søyler i utspenninga til de foregående søylene.
Dermed er det $(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$ antall invertible matriser i gruppa.


Antall matriser i gruppa: $p$ valg for $n^2$ posisjoner gir $p^{n^2}$ antall matriser i gruppa.


Sannsynligheten: $\frac{1}{p^{n^2}}\prod _{k=0}^{n-1}{p}^n-p^k$