Vektorer i rommet - Plan gitt ved tre punkter

[maro17]

Hei matematikere!

Jeg har fått en oppgave som lyder slik;
Finn likningen for et plan som går gjennom punktene
A(o,o,o), B(3,2,4) og C(1,1,1).

For å finne likningen her forsøker jeg å finne vektorene AB og AC, for derefter å normalvektoren, som er normal på AB og AC.

n vinkelrett på AB --> 3a + 2b + c = 0
n vinkelrett på AC --> a +b +c = 0

Men hvordan er gangen videre?

På forhånd hjertelig takk!

[Janhaa]

Slik som du sjøl har finni ut:

[tex]\vec {AB}=[3,2,4][/tex]
[tex]\vec {AC}=[1,1,1][/tex]

bestem normalvektoren, n, vinkelrett på både AB -og AC vektorene, vha
determinant:

[tex]\vec n = \vec {AB}\,{\rm x}\, \vec {AC}=[3,2,4]\,{\rm x}\, [1,1,1][/tex]
[tex]\vec n=\vec {AB} {\rm x} \vec {AC}=[-2,1,1][/tex]

deretter bruker du formelen fra boka ol.: likning for planet

[Karl_Erik]

Ser ut som du bruker skalarproduktet til å finne en normalvektor. Du har at normalvektoren n=[a,b,c], og kommet fram til de to likningene

3a + 2b + c = 0
a +b +c = 0

Som du ser har du to likninger, men tre ukjente. Det er fordi det ikke bare finnes en normalvektor. Hvis [1,2,3] hadde vært en normalvektor, hadde også 2*[1,2,3] = [2,4,6] vært det. Derfor kan vi fint sette en av de ukjente til en hvilken som helst verdi. Da har bestemt normalvektoren entydig, og løser likningssettet for å finne den. Så klarer du sikkert å finne likningen for planet.