Lurer på om man kan gjøre det sånn.
[tex]I=\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 +1}}[/tex]
[tex]x=tan\theta[/tex]
[tex]dx=sec^2 \theta d\theta[/tex]
[tex]I=\int \frac{sec^2 \theta d\theta}{tan^2 \theta \sqrt{sec^2 \theta}}[/tex]
[tex]I=\int \frac{sec \theta d\theta}{tan^2 \theta}[/tex]
[tex]I=\int \frac{\frac{1}{cos\theta} d\theta}{ \frac{sin^2 \theta}{cos^2 \theta}}[/tex]
[tex]I=\int \frac{d\theta}{ \frac{sin^2 \theta}{cos \theta}}[/tex]
[tex]I=\int \frac{d\theta}{ \frac{sin^2 \theta}{cos \theta}}[/tex]
[tex]I=\int \frac{cos\theta d\theta}{sin^2 \theta}[/tex]
[tex]u=sin \theta[/tex]
[tex]du=cos \theta[/tex]
[tex]I=\int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{sin\theta} + C[/tex] = [tex] -\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2 +1}}} + C[/tex] = [tex] -\frac{\sqrt{x^2 +1}}{x} + C[/tex]
integral
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
phew, det var bra 
Jeg har en oppgave her som virket litt vanskelig..
Solve the initial value problem for y as a function of x.
[tex]\sqrt{x^2 -9} \frac{dy}{dx} = 1,x>3, y(5) = ln3[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex]
[tex]\int dy = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex]
[tex]y +C = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex], [tex]I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex]
[tex]x=3sec \theta[/tex]
[tex]dx=3sec \theta tan\theta d\theta[/tex]
[tex]I = \int \frac{3sec \theta tan\theta d\theta}{\sqrt{9sec^2 \theta -9}}[/tex]
[tex]I = \int \frac{sec \theta tan\theta d\theta}{\sqrt{tan^2 \theta}}[/tex]
[tex]I = \int \frac{sec \theta d\theta}{tan \theta} = \int \frac{d\theta}{sin \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{sin^2 \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{1-cos^2 \theta}[/tex]
[tex]u=cos \theta[/tex]
[tex]-du=sin \theta d\theta[/tex]
[tex]I = -\int \frac{du}{1-u^2 [/tex]
Delbrøksoppspaltning osv:
[tex] I= -\frac{1}{2} \int (\frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u}) du = -\frac{1}{2} (ln|1+u| - ln|1-u|) + C = \frac{1}{2}ln(\frac{|1-cos \theta|}{|1+cos \theta|}) + C = \frac{1}{2}ln(\frac{|1 - \frac{3}{x}|}{|1+\frac{3}{x}|}) + C[/tex]
[tex]y = \frac{1}{2}ln(\frac{|1 - \frac{3}{x}|}{|1+\frac{3}{x}|}) + C [/tex]
Jeg er ikke helt sikker på hva vi skal nå, skal vi sette inn for x? står x>3 da er vel dette lov? siden det blir ikke noe negativt innenfor ln.
Jeg har en oppgave her som virket litt vanskelig..
Solve the initial value problem for y as a function of x.
[tex]\sqrt{x^2 -9} \frac{dy}{dx} = 1,x>3, y(5) = ln3[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex]
[tex]\int dy = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex]
[tex]y +C = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex], [tex]I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 -9}}[/tex]
[tex]x=3sec \theta[/tex]
[tex]dx=3sec \theta tan\theta d\theta[/tex]
[tex]I = \int \frac{3sec \theta tan\theta d\theta}{\sqrt{9sec^2 \theta -9}}[/tex]
[tex]I = \int \frac{sec \theta tan\theta d\theta}{\sqrt{tan^2 \theta}}[/tex]
[tex]I = \int \frac{sec \theta d\theta}{tan \theta} = \int \frac{d\theta}{sin \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{sin^2 \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{1-cos^2 \theta}[/tex]
[tex]u=cos \theta[/tex]
[tex]-du=sin \theta d\theta[/tex]
[tex]I = -\int \frac{du}{1-u^2 [/tex]
Delbrøksoppspaltning osv:
[tex] I= -\frac{1}{2} \int (\frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u}) du = -\frac{1}{2} (ln|1+u| - ln|1-u|) + C = \frac{1}{2}ln(\frac{|1-cos \theta|}{|1+cos \theta|}) + C = \frac{1}{2}ln(\frac{|1 - \frac{3}{x}|}{|1+\frac{3}{x}|}) + C[/tex]
[tex]y = \frac{1}{2}ln(\frac{|1 - \frac{3}{x}|}{|1+\frac{3}{x}|}) + C [/tex]
Jeg er ikke helt sikker på hva vi skal nå, skal vi sette inn for x? står x>3 da er vel dette lov? siden det blir ikke noe negativt innenfor ln.
Jeg har en liten innvending. Det viser seg til slutt at svaret vil bli det samme, men:
[tex]I=\int \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\tan^2 \theta \sqrt{\sec^2 \theta}} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan^2 \theta |\sec \theta|} \rm{d\theta} = \int \frac{|\sec \theta|}{\tan ^2 \theta} \rm{d} \theta[/tex]
Dette stemmer ikke helt. Det har seg slik at kvadratroten av et tall alltid er positivt - regn derfor med absoluttverdier: [tex]\sqrt{x^2} = |x|[/tex]terje1337 wrote:[tex]I=\int \frac{sec^2 \theta d\theta}{tan^2 \theta \sqrt{sec^2 \theta}}[/tex]
[tex]I=\int \frac{sec \theta d\theta}{tan^2 \theta}[/tex]
[tex]I=\int \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\tan^2 \theta \sqrt{\sec^2 \theta}} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan^2 \theta |\sec \theta|} \rm{d\theta} = \int \frac{|\sec \theta|}{\tan ^2 \theta} \rm{d} \theta[/tex]
ah.. jeg tenkte det ikke hadde noe å si pga ubestemt integral , men jeg skal huske på det fra nå, takk!
[tex]sin \theta[/tex] med et utrykk som inneholder x.
Siden vi substituerte [tex]x=tan\theta[/tex] så må vi utrykket svaret med x.
[tex]x=tan\theta = \frac{x}{1}[/tex]
Du vet at [tex]tan\theta = \frac{motstaaende}{hosliggende} = \frac{x}{1}[/tex]
I vårt tilfelle er hypotenus [tex]\sqrt{x^2 +1}[/tex]
Da vil [tex]sin \theta = \frac{motstaaende}{hypotenus} = \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}}[/tex]
Det som skjer her er at vi skriverMayhassen wrote:Kan jeg spørre deg om hva som skjer i siste linje på den første oppgaven der du skriver om -1/sin(theta) +C?
[tex]sin \theta[/tex] med et utrykk som inneholder x.
Siden vi substituerte [tex]x=tan\theta[/tex] så må vi utrykket svaret med x.
[tex]x=tan\theta = \frac{x}{1}[/tex]
Du vet at [tex]tan\theta = \frac{motstaaende}{hosliggende} = \frac{x}{1}[/tex]
I vårt tilfelle er hypotenus [tex]\sqrt{x^2 +1}[/tex]
Da vil [tex]sin \theta = \frac{motstaaende}{hypotenus} = \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}}[/tex]
[tex]I= \int \frac{\sqrt{x-x^2}}{x} dx[/tex]
Hva med denne? denne må vel gjøres om litt.
[tex]I= \int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x} dx[/tex]
Jeg får ikke noe godt ut av dette heller..
[tex]I= \int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}dx[/tex]
Trur det er meningen at vi skal bruke sånne ferdigformler men jeg kjenner ikke igjen noen jeg kan bruke for denne.
Hva med denne? denne må vel gjøres om litt.
[tex]I= \int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x} dx[/tex]
Jeg får ikke noe godt ut av dette heller..
[tex]I= \int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}dx[/tex]
Trur det er meningen at vi skal bruke sånne ferdigformler men jeg kjenner ikke igjen noen jeg kan bruke for denne.
Jeg har et par kommentarer til daofeishi:daofeishi wrote: Dette stemmer ikke helt. Det har seg slik at kvadratroten av et tall alltid er positivt - regn derfor med absoluttverdier: [tex]\sqrt{x^2} = |x|[/tex]
[tex]I=\int \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\tan^2 \theta \sqrt{\sec^2 \theta}} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan^2 \theta |\sec \theta|} \rm{d\theta} = \int \frac{|\sec \theta|}{\tan ^2 \theta} \rm{d} \theta[/tex]
1. Jeg er selvsagt enig i at man bør passe på at [tex]\sqrt{a^2}=|a|[/tex], særlig i bestemte integraler kan man gå i baret hvis man ikke er oppmerksom, slik terje1337 antyder.
2. Når terje1337 kommer frem til at det ubestemte integralet er [tex]-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C[/tex] uten å reflektere over absoluttverdier, trenger man imidlertid ikke regne i det hele tatt for å trekke slutningen om at man aldri kan komme til noe annet. Grunnen til dette er at [tex]-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C[/tex] er veldefinert for alle [tex]x\ne 0[/tex].
(En kan også bemerke at alle aktuelle [tex]x[/tex] gjennomløpes hvis [tex]-\pi/2<\theta<\pi/2[/tex] og [tex]\theta\ne 0[/tex]. For disse
[tex]\theta[/tex]-verdiene er [tex]\cos\theta>0[/tex], slik at absoluttverdi blir unødvendig.)
Mitt poeng er altså at man ikke bør bli for formalistisk.
[tex]x=cos^2 \theta[/tex]
[tex]dx=-2cos\theta sin \theta d\theta[/tex]
[tex]I= \int \frac{\sqrt{cos^2 \theta} \sqrt{1-cos^2 \theta}}{cos^2 \theta} * -2cos\theta sin\theta d\theta[/tex]
[tex]I= \int \frac{|cos \theta|*|sin \theta| }{cos^2 \theta} * -2cos\theta sin\theta d\theta[/tex]
[tex]I= \int \frac{|sin \theta| }{cos \theta} ( -2cos\theta sin\theta )d\theta[/tex]
[tex]I= -2 \int sin^2 \theta d\theta[/tex]
[tex]I= - \int 1-cos2 \theta d\theta = -(\theta - \frac{1}{2} sin2 \theta) +C = \frac{1}{2} sin2 \theta - \theta + C = [/tex]
[tex]I= \frac{1}{2} sin2 \theta - \theta + C = sin \theta cos \theta - \theta + C[/tex]
[tex]dx=-2cos\theta sin \theta d\theta[/tex]
[tex]I= \int \frac{\sqrt{cos^2 \theta} \sqrt{1-cos^2 \theta}}{cos^2 \theta} * -2cos\theta sin\theta d\theta[/tex]
[tex]I= \int \frac{|cos \theta|*|sin \theta| }{cos^2 \theta} * -2cos\theta sin\theta d\theta[/tex]
[tex]I= \int \frac{|sin \theta| }{cos \theta} ( -2cos\theta sin\theta )d\theta[/tex]
[tex]I= -2 \int sin^2 \theta d\theta[/tex]
[tex]I= - \int 1-cos2 \theta d\theta = -(\theta - \frac{1}{2} sin2 \theta) +C = \frac{1}{2} sin2 \theta - \theta + C = [/tex]
[tex]I= \frac{1}{2} sin2 \theta - \theta + C = sin \theta cos \theta - \theta + C[/tex]
Bare lurte på når du tar roten av [tex]tan^2 \theta[/tex] hvorfor det ikke blir [tex]tan \theta[/tex] slik at du kun står igjen med [tex]sec \theta[/tex]? Eller er det noe jeg ikke ser?terje1337 wrote: [tex]I = \int \frac{sec \theta tan\theta d\theta}{\sqrt{tan^2 \theta}}[/tex]
[tex]I = \int \frac{sec \theta d\theta}{tan \theta} = \int \frac{d\theta}{sin \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{sin^2 \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{1-cos^2 \theta}[/tex]
Godt observert =), siden jeg har akkurat den oppgaven har jeg sett litt nærmere på det og får: [tex]\int sec \theta d\theta = ln|\frac {x+sqrt{x^2-9}} {3}|[/tex]orjan_s wrote:Bare lurte på når du tar roten av [tex]tan^2 \theta[/tex] hvorfor det ikke blir [tex]tan \theta[/tex] slik at du kun står igjen med [tex]sec \theta[/tex]? Eller er det noe jeg ikke ser?terje1337 wrote: [tex]I = \int \frac{sec \theta tan\theta d\theta}{\sqrt{tan^2 \theta}}[/tex]
[tex]I = \int \frac{sec \theta d\theta}{tan \theta} = \int \frac{d\theta}{sin \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{sin^2 \theta} = \int \frac{sin \theta d\theta}{1-cos^2 \theta}[/tex]