Integrasjon

[rm]

Noen som kan si hvorfor man får arctan i svaret til denne:

[tex]\int \frac{sqrt{x}}{1+x} dx[/tex]

[arildno]

Innfør variabelen [tex]u=\sqrt{x}[/tex]

[rm]

Jeg har prøvd på noe slik:

[tex]u=sqrt{x}[/tex]
[tex]u^2=x [/tex]
[tex]dx=2u du[/tex]

[tex]\int \frac{u}{1+x}2u du[/tex]
[tex]\int \frac{2u^2}{1+x} du[/tex]

hvor blir det feil?

[arildno]

Jeg har prøvd på noe slik:

[tex]u=sqrt{x}[/tex]
[tex]u^2=x [/tex]
[tex]dx=2u du[/tex]

[tex]\int \frac{u}{1+x}2u du[/tex]
[tex]\int \frac{2u^2}{1+x} du[/tex]

hvor blir det feil?

Tja, du må jo jobbe videre med dette!

[tex]\int \frac{2u^2}{1+x} du=\int\frac{2u^{2}}{1+u^{2}}du=\int\frac{2u^{2}+2}{1+u^{2}}du-2\int\frac{du}{1+u^{2}}[/tex]

Nå kan DU fortsette litt..

[rm]

da tror jeg jeg skjønner fordi:
[tex]\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx +C[/tex]

[arildno]

da tror jeg jeg skjønner fordi:
[tex]\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx +C[/tex]

Korrekt.

[Olorin]

*edit*

[rm]

[tex]\int\frac{e^x}{sqrt{1-e^{2x}}}[/tex]

[tex]u=e^x[/tex]
[tex]du=e^xdx[/tex]
[tex]dx=\frac{du}{e^x}[/tex]

da får vi [tex]\int\frac{1}{sqrt{1-e^{2x}}}du[/tex]


kan vi da bruke regelen [tex]\int\frac{1}{sqrt{1-x^2}}=arcsinx+C[/tex]

[Olorin]

Ja..

når [tex]u=e^x[/tex] kan nevneren din skrives slik: [tex]\sqr{1-u^2}[/tex]

[rm]

Hva er det jeg gjør feil her:
[tex]\int cos(lnx)dx[/tex]

[tex]u=lnx[/tex]
[tex]du=\frac{dx}{x}[/tex]
[tex]dx=xdu[/tex]

Bruker delvis integrasjon:
[tex]\int xcos u du[/tex]
[tex]u=x u\prime=1[/tex]
[tex]v\prime=cos u v=sinu[/tex]

[tex]\int cos(lnx)dx[/tex][tex]=xsinu-\int sinu[/tex][tex]=xsin(lnx)+cos(lnx)[/tex]

[mrcreosote]

Når du gjør variabelskiftet, må du skrive om alt som har med x å gjøre til en funksjon av u. Her får du x*cos u du som er en salat med litt for mange ingredienser. Skriv x som e^u sånn at du skal integrere e^u*cos u og så delvis.

Tips: Bruk [tex]\Upsilon[/tex] eller [tex]\Xi[/tex]som ny variabel så du slipper å gå i surr når du innfører u og v.

[Olorin]

Rett som mrcreosote sier, du må skrive om x til e^u, deretter ser du kanskje at du må gjennom to delvis integrasjoner så er du i mål!

[rm]

jeg skjønner bare ikke hvorfor vi får inn [tex]\frac{1}{2}[/tex] i svaret.

[Olorin]

Kan vise slutten av utregninga (har gjort denne selv tidligere):

[tex]\int e^u\cdot \cos u \rm{d}u=e^u\cdot \cos u+e^u\cdot \sin u-\int e^u\cdot \cos u\rm{d}u[/tex]

[tex]2\int e^u\cdot \cos u \rm{d}u=e^u\cdot \cos u+e^u\cdot \sin u[/tex]

[tex]\int e^u\cdot \cos u \rm{d}u= \frac12(e^u\cdot \cos u+e^u\cdot \sin u)[/tex]

[Landstad]

edit