e^x derivert

[SUPLOLZ]

Læreren min sa at det fantes et bevis på at $(e^x{)}^{,}=(e^x)$ er den eneste funksjonen som derivert blir funksjonen selv. Noen som kan vise eller gi en link for dette beviset?

[mrcreosote]

Anta at funksjonen f(x) er lik sin egen derivert, altså $f(x)=\frac{df}{dx}$. Prøv å løse denne differensialligninga! Klarer du det vil du oppdage at læreren din har vært litt slurvete.

[SUPLOLZ]

Ikke for å pingle ut eller noe, men jeg går i 3MX, så jeg har ikke lært om slike ligninger. Kan du utdype litt?

[mrcreosote]

Helt i orden, fint du er nysgjerrig.

Du kan løse denne ligninga ved å gange opp med dx på hver side. Dette er ikke en helt lovlig operasjon siden dx ikke kan betraktes som et vanlig tall, men det duger ofte til å forklare allikevel. Regninga stemmer dessuten.

I alle fall, vi ender opp med $dx=\frac{df}{f}$ når vi stokker litt. Hvis vi nå integrerer begge sider får vi $\int dx=\int \frac{df}{f}$ som etter integrasjon gir $x=\ln |f(x)|+C$. Hvis du roter videre med denne (du må gjøre noen småtriks her, prøv!) får du $f(x)=A{e}^x$ for en konstant A.

Vær oppmerksom på at dette hverken er fyldig eller presist, men kun idégrunnlaget.

[sEirik]

Spesielt kan vi legge merke til tilfellet når A = 0, som er kanskje det enkleste tilfellet:

f(x) = 0
f'(x) = 0

[mrcreosote]

Stryk kanskje!

[Wiz]

Når det gjelder det tråden spør etter - bevis for derivasjonen - så fikk jeg nylig et slikt bevis av mattelæreren min! Dermed:

$\$(a^x)\prime =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^x\cdot a^{\mathrm{\Delta }x}-a^x}{x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^x(a^{\mathrm{\Delta }x}-1)}{x}\$$

Innfør $h$ slik at
$\text{Misplaced cr}$
$\text{Misplaced cr}$
$\text{Misplaced cr}$
$\mathrm{\Delta }x=\frac{\ln (1+h)}{\ln a}$


$\text{Misplaced cr}$


Regel: $(a^x)\prime =a^x\ln a$ og $(e^x)\prime =e^x\ln e=e^x$

[Charlatan]

bare glem det.

Misforstod poenget.

[Vektormannen]

Når det gjelder et bevis for at $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ så har jeg også et å komme med.

$(e^x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}=\underset{h\to 0}{lim}{e}^x\cdot \frac{e^h-1}{h}=e^x\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}$

Vi må nå vise at $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=1$.

En av definisjonene på $e$ er $e=\underset{n\to 0}{lim}(1+n{)}^{\frac{1}{n}}$. Setter vi det inn i grenseverdien vi skal vise, får vi:
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{((1+h{)}^{\frac{1}{h}})}^h-1}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(1+h{)}^{\frac{1}{\cancel{h}}\cdot \cancel{h}}-1}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1+h-1}{h}=1$

Altså har vi at $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=1$. Da er

$(e^x{)}^{\prime }=e^x\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=e^x\cdot 1=e^x$.

Dere bevisfolk, er det et godt nok bevis?

[Markonan]

Det der så helt riktig ut det der.

[FredrikM]

Når det gjelder et bevis for at $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ så har jeg også et å komme med.

Etter nærmere ettertanke tror jeg at beviset ditt muligens ikke er helt godt. Har tenkt litt på det i det siste, og jeg har en mistanke om at formelen
$e=\underset{h\to 0}{lim}(1+h{)}^{1/h}$
er avledet av nettopp definisjonen av den deriverte, som også var det du brukte for å vise det du prøvde på.

Det blir som om jeg skal bevise egenskaper ved trekanter ved å bruke de trigonometriske funksjonene.

Er proffene enige med meg, eller roter jeg nå?

[Vektormannen]

Ah, i såfall blir det jo helt feil ja. Blir absurd å bevise noe ved å benytte det i beviset ja

[Magnus]

http://math2.org/math/derivatives/more/e%5Ex.htm

[Markonan]

Det tenkte ikke jeg på. Skal være litt mer forsiktig før jeg svarer på noe som er rettet mot 'bevisfolka'.