Rekursjonsligning

[peewee]

Hei, har et lite spørsmål angående utregning av rekursjonsligning. Henger med ei stund med så forstår jeg ikke heilt hva jeg må gjøre for å komme videre. Skal prøve så godt jeg under å forklare hva jeg sliter med å håper på at en av dere kan forklare dette litt bedre for meg.

an+2 + 4an+1 + 4an = n^2 , n>= 0 a0 = 0, a1 = 2

Det første jeg gjør er å løse den homogene likningen
an+2 + 4an+1 + 4an = 0 ,setter an = r
r^2 + 4r + 4 = 0 (Karistisk likning)

Får da røttene r1 = r2 = -2

Generell løsning av en homogene likningen blir a
an(h) = A(-2)^2 + Bn(-2)^2

Så kommer det jeg sliter med. Når jeg har funnet denne løsningen så er det på tide å begynne på den Partikulære løsningen. Her setter så læreren

pn = C + n + En^2 som gir
pn = -(4/27)n + (1/9)n^2

Da er spørsmålet mitt kossen velger enn hva pn skal være (slik jeg forstår det så velger du ka pn skal være så setter du inn for pn i den "skikkelige" rekursjonslikningen. Når du da regner videre får du at pn = -(4/27)n + (1/9)n^2. Men forstår ikke heilt mellomregningen der.

Jeg forstår hva jeg skal gjøre resten for å finne ut den skikkelige løsningen, men for å få det til så må jeg jo nesten klare den utregninge først.

Sikkert utrolig dårlig forklart av meg her, men viss en eller annen kunne vist skikkelig utrening med alle mellomregningene så hadde det vert topp. (har eksempel på en annen type oppgave som jeg sliter med det samme viss det er enklere å forklare med den)

[mrcreosote]

Når funksjonen på høyresida er et polynom, gjetter man vanligvis på en partikulærløsning på samme form, altså et polynom av samme grad. Noen ganger må man gå noen grader opp i gjettet sitt, dette kan du sikkert finne mer om i litteraturen.

Her har du n^2 og gjetter derfor på et generelt polynom En^2+Dn+C av grad 2. Generelt kan man si at det lønner seg å gjette på noe som ligner på funksjonen på høyresida.

Man finner CDE ved å sette inn i ligninga; her får du [tex]E(n+2)^2+D(n+2)+C+4(E(n+1)^2+D(n+1)+C)+4(En^2+Dn+C)=n^2[/tex]. Dette skal gjelde for alle n.

Hvis du utvider vs og sammenholder koeffisienter får du 3 ligninger i 3 ukjente, løs disse.

Eksempel: Hvis [tex]An^2+(B-A)n+(B+2C)=8n^2+2[/tex] får du ligningene A=8, B-A=0 og B+2C=2 som er lette å løse.

[peewee]

Hei og takk for svaret. Det stemmer godt overens med fasiten
Er sånn halveis med på svaret ditt, må bare få lest litt mer og få det skikkelig inn. For å hjelpe meg litt til på veien kunne du forklart litt hvordan du ville gått fram for å finne partikulærløsningen på disse ligningene også ?

[tex]A(n+2) + 4A(n+1) + 4A(N) = 7 , a0 = 1, a1 = 2[/tex]

[tex]A(n+2) + 3A(n+1) + 2A(n) = 3^n , a0 = 0, a1 = 1[/tex]

Viss du seier hva du setter Pn til og hvordan du setter den inn i rekursjonslikningen igjen så hadde det vert heilt topp


Takk for hjelpen så langt

[mrcreosote]

I det første tilfellet (7) har du igjen et polynom på høyreside (konstanter er også polynomer!), så da lønner det seg å gjette på akkurat det samme, altså bare en konstant.

I det andre ville jeg gjetta på noe tilsvarende, altså C3^n hvor C er et tall. Du får prøve deg fram. Prøv å sette inn sjøl en gang først.

TeXtips: oppe_{nede} gir [tex]oppe_{nede}[/tex].

[peewee]

Skal gjør det og takk for text tipse

Skal prøve å regne begge de to oppgavene der skikkelige og poste de her og se om det er rektig.

[mrcreosote]

Fine greier. Lykke til!

[peewee]

Da er det vell på tide å prøve å svare. Viss jeg gjor rett på likning 2 så må det være ein lettare måte å gjør det på, for det stykke ble svæært.

oppgave 1
[tex]a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_{n} = 7[/tex] [tex] ,n>= 0 a_{0} = 1, a_{1}= 2[/tex]

[tex]r^2 + 4r +4 = 0[/tex] Karistisk likning
[tex]r_{1} = r_{2} =-2[/tex]

[tex]a_{n}^{h} = A(-2)^n + Bn(-2)^n[/tex]

Har nå løst den homogene delen og går løs på den partikulære.

[tex]a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_{n} = 7[/tex] Bytter ut an med C
[tex]c + 4c + 4c = 7[/tex] (litt usiker på hvorfor du får c + 4c + 4c og ikke c^n+2 og 4c^n+1
[tex]c = 7/9[/tex]

Får da svartet

[tex]a_{n} = A(-2)^n + Bn(-2)^2 + 7/9[/tex] Bruker [tex]a_{0} = 1, a_{1}= 2[/tex] til å lage to likninger med ukjente og løyser den.

Får da [tex] A = 2/9 og B = 5/6[/tex]




Sliter enda litt med å kjønne hvordan du setter inn C i den oppgaven der.
Prøvde å løse den andre men det blei masse skriving. Er den en enklere måte å gjør på enn det jeg viser her nå?

[tex]a_{n+2} + 4a_{n+1} + 4a_{n} = n^2[/tex] [tex] ,n>= 0 a_{0} = 0+ a_{1}= 2[/tex]

[tex]r^2 + 4r + 4 = 0[/tex]

[tex]r1 = r2 = -2[/tex]

får da løsningen

[tex]an^h = A(-2)^n + Bn(-2)^n[/tex]

Løser så den partikulære delen. Siden høyre side innheholder [tex]n^2[/tex] velger jeg å sette [tex] Pn = En^2 + Dn + C[/tex]

får da

[tex] E(n+2)^2 + D(n+2) + C + 4(E(n+1)^2 + D(n+1) + C) + 4(En^2 + Dn + C) = N^2[/tex]

[tex]E(n^2 + 4n + 4) + Dn + 2D + C + 4[E(n^2 + 2n + 1) + Dn + D + C] + 4En^2 + 4Dn + 4C = n^2[/tex]

[tex]En^2 + 4En + 4E + Dn + 2D + C + 4[En^2 + 2En + E + Dn + D + C] + 4En^2 + 4Dn + 4C = n^2[/tex]

[tex]En^2 + 4En + 4E + Dn + 2D + C + 4En^2 + 8En + 4E + 4Dn + 4D + 4C + 4En^2 + 4Dn + 4C = n^2[/tex]

[tex]9En^2 + 12En + 9Dn + 8E + 6D + 9C = n^2[/tex]

[tex]9En^2 + (12E+9D)n + (8E+6D+9C) = n^2[/tex]

Dette gir likningene

1) [tex] 9E = 1[/tex]
2) [tex]12E + 9D = 0[/tex]
3) [8E + 6D + 9C = 0[/tex]

Løser disse og finner at E = 1/9 D = -4/27 og C = 0

(Må gå nå men kommer til å stille et lite spørsmål angående innsetningen av [tex]En^2 + Dn + C[/tex] på venstre side av likningen