hei, hvordan tolker jeg denne typen rekker? Vi skal avgjøre om den konv. eller div.
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]
eller
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]
Virker som om nevneren går mot uendelig uansett hva n er.
Eller er disse rekkene som
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex] og den harmoniske rekken [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/tex] ?
rekker
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Misforstår jeg helt om det er disse to rekkene du skal prøve for konvergens/divergens?
[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + ... + {1 \over n}}[/tex]
[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {n^2 }} = 1 + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over {16}} + {1 \over {25}} + ... + {1 \over {n^2 }}}[/tex]
I så fall kan du avgjøre det enkelt og greit via integraltesten.
Om du ikke har hørt om den, så sier den at dersom integralet av rekka konvergerer/divergerer, så konvergerer/divergerer også rekka. For disse to rekkene vil du da måtte undersøke følgende to integraler:
[tex]\int_1^\infty {{1 \over n}dn}[/tex]
og
[tex]\int_1^\infty {{1 \over {n^2 }}dn} [/tex]
[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + ... + {1 \over n}}[/tex]
[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {n^2 }} = 1 + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over {16}} + {1 \over {25}} + ... + {1 \over {n^2 }}}[/tex]
I så fall kan du avgjøre det enkelt og greit via integraltesten.
Om du ikke har hørt om den, så sier den at dersom integralet av rekka konvergerer/divergerer, så konvergerer/divergerer også rekka. For disse to rekkene vil du da måtte undersøke følgende to integraler:[tex]\int_1^\infty {{1 \over n}dn}[/tex]
og
[tex]\int_1^\infty {{1 \over {n^2 }}dn} [/tex]
Mener du at dersom en rekke konvergerer/divergerer så konvergerer/divergerer også integralet?
Det skulle jeg mene, ja.
Bare for å gjøre det helt klart (skriver kanskje noe knotete)
Dersom rekka konvergerer, så konvergerer integralet.
Dersom rekka divergerer, så divergrer integralet.
Og omvendt.
Et annet krav til denne testen er at leddene må bli mindre og mindre og alltid være positive. Begge disse kravene er oppfylt i de to rekkene over, derfor funker integraltesten utmerket.
Det skulle jeg mene, ja.
Bare for å gjøre det helt klart (skriver kanskje noe knotete)
Dersom rekka konvergerer, så konvergerer integralet.
Dersom rekka divergerer, så divergrer integralet.
Og omvendt.
Et annet krav til denne testen er at leddene må bli mindre og mindre og alltid være positive. Begge disse kravene er oppfylt i de to rekkene over, derfor funker integraltesten utmerket.
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Hint:
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}2[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6[/tex]
Kan du sette dette inn i sumformlene dine?
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}2[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6[/tex]
Kan du sette dette inn i sumformlene dine?
var disse to rekkene jeg lurte på
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2 +3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]
De står akkurat slik i boka..
Jeg sa bare at de lignet på
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/tex] og [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]
Men det var ikke de 2 siste p-rekkene jeg lurte på. Jeg lurer på om de 2 første jeg nevte konverger eller divergerer, og hvordan vi kan gjøre dette.
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2 +3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]
De står akkurat slik i boka..
Jeg sa bare at de lignet på
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/tex] og [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]
Men det var ikke de 2 siste p-rekkene jeg lurte på. Jeg lurer på om de 2 første jeg nevte konverger eller divergerer, og hvordan vi kan gjøre dette.
nja nå har jeg ikke sett moteksempel men av de positive ikke konstante funksjonene jeg har sett så har integralet alltid vært større enn summen.Jarle10 skrev:Gjelder det motsatte?dersom integralet av rekka konvergerer/divergerer, så konvergerer/divergerer også rekka.
grunnen til dette antar jeg at integralet kan tolkes som arealet under grafen altså summen uten "mellomrom", mens en rekke bare gir summen av verdien per naturlige tall.
Du bør tenke over hintet fra ingentingg en gang til. Det vil forenkle summen som forekommer i nevnerne.terje1337 skrev:var disse to rekkene jeg lurte på
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+3+4+5...+n} [/tex]
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2^2 +3^2+4^2+5^2...+n^2} [/tex]
De står akkurat slik i boka..
isåfall vil denne konvergere siden,
[tex] 0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]
Og her tar vi delbrøksoppspaltning og skriver opp de første 5-6 leddene for å se om vi ser noe interesant?
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}6} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]
[tex] 0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/tex]
Og her tar vi delbrøksoppspaltning og skriver opp de første 5-6 leddene for å se om vi ser noe interesant?
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}6} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]
eller kanskje forholdstesten er bedre?
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} * \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} = \frac{(n+2)(2n+2)}{n(2n+1)} = \frac{2n^2 + 6n +4}{2n^2 +n}[/tex]
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2 + 6n +4}{2n^2 +n} = 1[/tex]
eller ikke..
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(2n+1)}[/tex]
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} * \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} = \frac{(n+2)(2n+2)}{n(2n+1)} = \frac{2n^2 + 6n +4}{2n^2 +n}[/tex]
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2 + 6n +4}{2n^2 +n} = 1[/tex]
eller ikke..
Sist redigert av terje1337 den 13/11-2007 22:34, redigert 1 gang totalt.