eksamensoppgave

[terje1337]

Gi et eksempel på konvergente rekker [tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/tex] og [tex] \sum_{n=1}^{\infty} b_n [/tex] slik at [tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n [/tex] divergerer. Er det mulig å finne et slikt eksempel dersom vi i tillegg forlanger at [tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/tex] er absolutt konvergent? (Begrunn svaret.)

Vi lar

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} [/tex]

og ,

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} = (-1)^n \frac{1}{ln n} [/tex]

Vi vet at begge disse konvergerer betinget.

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} 1^{2n} \frac {1}{n ln n}[/tex]

Vi ser bort fra [tex] 1^{2n} [/tex] og påviser divergens med integraltesten:

[tex] \int_1^{\infty} \frac{1}{nln n} = ln(ln \infty) - ln(ln(1)) = \infty[/tex]

Jeg trur ikke vi kan få til dette om [tex] a_n[/tex] er absolutt konvergent, hvordan kan jeg vise eller begrunne dette?

[Bogfjellmo]

Du har helt rett i at det ikke er mulig når [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] er absolutt konvergent.
[tex]|b_n|[/tex] må jo nødvendigvis gå mot null. Hva kan du da si om [tex]|a_n b_n|[/tex] og [tex]|a_n|[/tex] når n blir stor?