Et integreringsproblem

[den spørrende]

Hei..

Har en oppgave jeg gjerne skulle ha løst i Maple.
Oppgaven går ut på at man har gitt to funksjoner, f og g.

f= (x-2)^4

g= x/2

plotter man disse funksjonene i Maple vil de avgrense et område, G.

Oppgaven går så ut på at dette område G skal roteres 360 grader rundt andreaksen, og at man deretter skal finne volumet av dette legemet (kalt T).

Er det noen her som vet hvordan jeg;

a) får rotert område G rundt andreaksen?

b) får regnet ut volumet av legemet T?

Jeg spør da om noen klarer å løse dette i Maple...

[fish]

Du får vel starte med å finne skjæringspunktene mellom grafene, tenker jeg, [tex]f(x)=g(x)[/tex]:
I Maple kan du da bruke fsolve-kommandoen.

[den spørrende]

Skjæringspunktet mellom grafene er funnet.. Har også funnet arealet av området G, samt at jeg har konstruert den trekanten inne i området G som får det størst mulige arealet.. Men, der stopper det opp dessverre..

[fish]

Når du skal finne volumet ved rotasjon om andreaksen, lønner det seg nok i dette tilfellet å benytte sylinderskallmetoden

[tex]dV=2\pi x dA[/tex], der [tex]dA[/tex] er arealet av et vertikalt rektangel inne i området i posisjon x.

[den spørrende]

ja, okey.. men, det finnes ingen direktekommandoer som kan løse dette i Maple altså??

[fish]

Jo, men det gir faktisk mindre skriving å beregne integralet direkte. Du har jo skjæringspunktenes x-verdier, så grensene burde være kjent...

[den spørrende]

Ja, grensene er kjente, så det er ikke noe problem..

Når det gjelder dA, velger jeg meg bare en x verdi da eller, og måler(setter inn i g(x)) lengden av denne, eller hvordan fungerer dette??

[fish]

[tex]dA[/tex]=(øvre funksjon - nedre funksjon)dx

[den spørrende]

ja, ok..nå tror jeg at jeg henger sånn nogenlunde med her.. i mitt tilfelle vil det altså føre til;

dA = g(x) - f(x)dx
dA = (x/2) - (x-2)^4

eller er jeg helt på jordet nå??

[fish]

Ser bra ut.

[den spørrende]

da har jeg hvertfall skjønt noe..

Så hvis jeg da setter opp dette videre, så blir det seende slik ut;

dV = 2* [symbol:pi] *x*dA

dV = 2* [symbol:pi] *x*(g(x)-f(x))

dV = 2*[symbol:pi] *x*((1/2)*x-(x-2)^4)

Medfører dette riktighet??

dette vil da føre til at dV =

[symbol:integral] fra 3.1173 til 1.1125 (skjæringspunktene)

[symbol:integral] 2*[symbol:pi] *x*((1/2)*x-(x-2)^4)

= 22.99939745

noen som kan bekrefte/avkrefte dette??

[den spørrende]

Har nå fått til denne oppgaven nå, så jeg må bare si tusen takk for hjelpen;)

Har nå bare et siste spørsmål:

Finn to horisontale akser som gir samme rotasjonsvolum som i d) når G roteres rundt dem..

Noen som kan hjelpe med dette?

Slik som jeg forstår oppgaven da, så må

2* [symbol:pi]*x*dA = Volumet av T ( [symbol:tilnaermet] 22.9)

Noen som kan hjelpe meg??

[fish]

dV = 2*[symbol:pi] *x*((1/2)*x-(x-2)^4)

Medfører dette riktighet??

dette vil da føre til at dV =

[symbol:integral] fra 3.1173 til 1.1125 (skjæringspunktene)

[symbol:integral] 2*[symbol:pi] *x*((1/2)*x-(x-2)^4)

= 22.99939745

noen som kan bekrefte/avkrefte dette??

Dette ser bra ut, men du må vel integrere fra den laveste til den høyeste verdien!

[den spørrende]

det kan vel ikke stemme vel?? da vil jo volumet bli negativt da jo..!!

[fish]

Nei, det gjør ikke det. Når du integrerer en positiv funksjon (her en differanse) fra venstre mot høyre langs førsteaksen, får du et positivt svar.