Derivasjon

[varadero]

kan denne være rett?

[tex]f\left( x \right) = \sqrt {x^2 + 1}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = \left( {x^2 + 1} \right)^2[/tex]
[tex]f\left( x \right) = x^4 + 2x^2 + 1[/tex]
Deriverte
[tex]f\left( x \right) = 4x^{4 - 1} + 2 \cdot 2x^{2 - 1}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = 4x^3 + 4x[/tex]

har ikke helt grepet ennå

[Vektormannen]

Hva i alle dager er det du gjør? Her har du jo to ulike definisjoner av f. Det gir ingen mening å gjøre det du gjør: [tex]\sqrt {x^2+1}[/tex] og [tex](x^2+1)^2[/tex]er IKKE like! Jeg kan illustrere hva jeg mener.

Du har fått oppgitt funksjonen [tex]f(x) = \sqrt {x^2+1}[/tex]. Putter vi f.eks. 3 inn i denne får vi:

[tex]f(3) = \sqrt{3^2+1} = \sqrt{10}[/tex]

Men deretter prøver du på en eller annen absurd måte å forenkle funksjonsuttrykket til å bli [tex](x^2+1)^2[/tex]. La oss nå prøve å putte 3 inn i f:

[tex]f(3) = (3^2+1)^2 = 10^2 = 100[/tex]

To forskjellige svar for samme argument...

Oppgaven løses ved å bruke kjerneregelen, der kjernen er [tex]x^2 + 1[/tex].

[varadero]

[tex]f\left( x \right) = \left( {x^2 + 1} \right)^{{1 \over 2}}[/tex]

slik blir det da, men jeg må nok lese litt mer og få forklart i morgen.. har vist ikke fått med meg alt her..

takk for hjelpen..

[Vektormannen]

Som sagt, bruk kjerneregelen:

[tex]f(x) = \sqrt {u}[/tex] der [tex]u=x^2+1[/tex].

Kjerneregelen gir at [tex]f^\prime(x) = (\sqrt u)^\prime \cdot u^\prime[/tex]. Klarer du det videre? (Begynn med å derivere [tex]\sqrt u[/tex])

[zell]

Når vi deriverer så reduserer vi.

vi har regelen:

[tex](x^a)^, = ax^{(a-1)}[/tex]

følgelig blir:

[tex]\frac{d}{dx}[(x^2+1)^{\frac{1}{2})] = \frac{1}{2}(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1} \ \cdot \ ?[/tex]

? = den deriverte av kjernen, kjernen i dette uttrykket er x^2 + 1, hva er den derivere av den?

[varadero]

takk
da må jeg se litt på den.. litt hjerneføde først

[varadero]

[tex]f\left( x \right) = \left( {x^2 + 1} \right)^{{1 \over 2}}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = {1 \over 2}\left( {x^2 + 1} \right)^{{1 \over 2} - 1}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = {1 \over 2}\left( {x^2 + 1} \right)^{ - {1 \over 2}} f\left( x \right) = \left( {{1 \over 2}x^2 + {3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over 2}}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = \left( {{1 \over 2}x^2 + {3 \over 2}} \right)\left( {{1 \over 2}x^2 + {3 \over 2}}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = {1 \over 4}x^4 + 2x^2 + 2x^2 + {9 \over 4}[/tex]
[tex]f\left( x \right) = {1 \over 4}x^4 + 4x^2 + {9 \over 4}[/tex]

siste mulighet i dag

[Vektormannen]

Som jeg har sagt tidligere, bruk kjerneregelen.

[tex]f(x) = \sqrt{x^2 + 1}[/tex]

Vi kaller kjernen u og setter [tex]u={x^2+1}[/tex]. Den ytre funksjonen blir [tex]\sqrt u[/tex]. Da får vi:

[tex]f(x) = \sqrt{u}[/tex]

Først deriverer vi den ytre funksjonen, [tex]\sqrt {u}[/tex]:

[tex]\sqrt {u} = u^{\frac 1 2}[/tex]

[tex](u^{\frac 1 2})^\prime = \frac 1 2 u^{-\frac 1 2} = \frac 1 {2u^{\frac 1 2}} = \frac 1 {2\sqrt u}[/tex]

Den deriverte av kjernen blir:

[tex]u^\prime = (x^2 + 1)^\prime = 2x[/tex]

Kjerneregelen sier at den deriverte av funksjonen er den deriverte av kjernen (u) multiplisert med den deriverte av den ytre funksjonen:

[tex]f^\prime(x) = (\sqrt u)^\prime \cdot u^\prime = \frac 1 {2\sqrt u} \cdot 2x = \frac {2x} {2\sqrt u} = \frac x {\sqrt u}[/tex]

Til slutt setter vi inn det opprinnelige uttrykket for u ([tex]x^2+1[/tex]):

[tex]f^\prime(x) = \frac x {\sqrt{x^2+1}}[/tex]

[varadero]

ok, henger vist ikke helt med.. får studere dette litt mer.. ser hva du gjør, men forstår ikke helt..

takk for fin forklaring hvertfall..

[Vektormannen]

Hvis du syns det er forvirrende å benytte en ny bokstav for kjernen, kan du bruke akkurat samme regel uten også, men da syns hvertfall jeg det blir litt mye rot. Uten vil det bli noe slikt:

Kjernen er fortsatt [tex]x^2+1[/tex], såklart. Den ytre funksjonen er kvadratroten av dette. Vi deriverer den ytre funksjonen:

[tex](\sqrt{x^2+1})^\prime = ((x^2+1)^{\frac 1 2})^\prime = \frac 1 2 (x^2+1)^{-\frac 1 2}[/tex]

Dette kan vi skrive om (tenk på potensreglene!):

[tex]\frac 1 2 (x^2+1)^{-\frac 1 2}=\frac 1 2 \cdot \frac 1 {(x^2+1)^{\frac 1 2}} = \frac 1 {2(x^2+1)^{\frac 1 2}} = \frac 1 {2\sqrt{x^2+1}[/tex]

Kjerneregelen sier så at den deriverte av kjernen (som er [tex]x^2+1[/tex]) skal multipliseres med den deriverte av den ytre funksjonen (som vi nettopp har derivert):

[tex](x^2+1)^\prime = 2x[/tex]

[tex]f^\prime(x) = \frac 1 {2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac {2x} {2\sqrt{x^2+1}} = \frac x {\sqrt {x^2+1}[/tex]

Bruken av bokstaver gjør det som sagt bare mindre rotete når man arbeider med uttrykkene...

[varadero]

aha.. det var lurt .. har vel hatt litt om det tidliger ja..

hmm lenge siden jeg har gått på skole gitt..

vel, TAKK for oppklarende forklaring.. skal kikke på dette og regne flere oppgaver som jeg kan plage dere med hihi.. må få til dette da..

[Vektormannen]

Er lurt å rekne litt på dette ja, så du blir vant med fremgangsmåten. Forresten, ser du skriver både funksjonen og den deriverte av funksjonen som f(x). Det blir feil -- f(x) og f'(x) er to forskjellige funksjoner, der den ene er den deriverte av den andre. Husk for all del å skrive det korrekt på prøver, innleveringer osv. Tror neppe læreren blir glad for å se slik slurvete notasjon :p

[zell]

redundant!

[Vektormannen]

Jeg gjorde akkurat det samme til å begynne med. Bla litt lenger opp.

[zell]

oida