Funksjonale røtter

[daofeishi]

Komponering av funksjoner er definert slik:
Dersom du har to funksjoner f(x) og g(x), er:
$$\begin{gathered} f\circ g(x)=f(g(x)) \\ g\circ f(x)=g(f(x)) \end{gathered}$$

Eksempelvis, gitt funksjonene
$$\begin{gathered} f(x)=2x \\ g(x)=3x^2 \end{gathered}$$
så er:
$$\begin{gathered} f\circ g(x)=f(3x^2)=2(3x^2)=6x^2 \\ g\circ f(x)=g(2x)=3(2x{)}^2=12x^2 \end{gathered}$$

Vi kan nå se på funksjoner komponert med seg selv:
$f\circ f(x)$

Vi skal gi dette en ny notasjon:
$f\circ f(x)=f^2(x)$
Pass på! Det vi gjør her er ikke å kvadrere funksjonen, men å komponere den med seg selv.

Eksempelvis: $$\begin{gathered} f(x)=\sin (3x) \\ {f}^2(x)=f(\sin (3x))=\sin (3\sin (3x)) \end{gathered}$$

Vi kan nå definere det vi skal kalle en funksjonal rot. La La oss kalle en funksjon g(x) en funksjonal rot av f(x) dersom
$g^2(x)=f(x)$

Eksempel:
$g(x)=\frac{1}{x}$ er en funksjonal rot av $f(x)=x$, siden $g^2(x)=x$
$g(x)=-x$ er også en funksjonal rot av $f(x)=x$. Vi ser dermed at en funksjonal rot ikke er unik.


Oppgaven nå er som følger:
Prøv å finne funksjonale røtter til følgende funsjoner
$$\begin{gathered} f(x)=x+4 \\ g(x)=6x \\ h(x)=ax+ba\ge 0 \\ i(x)=x^4-2x^2 \\ j(x)=\frac{x}{x+1} \\ k(x)=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Vi kan generalisere videre til en funksjonal n'terot av f(x), g(x) slik:
$g^n(x)=f(x)$
Vi ser dermed at den funksjonale (kvadrat-)roten av k(x) over faktisk er en funksjonal fjerderot av f(x) = x

Bonusoppgaver:
Finn et uttrykk som produserer funksjonale n'terøtter av
$f(x)=\frac{x}{x+1}$

Bevis at funksjonen $f(x)=x^2-2$ ikke har en funksjonal (kvadrat-)rot.

[Mayhassen]

Hvis jeg har forstått dette riktig så er de to første:

$g(x)=x+2$ siden $g^2(x)=(x+2)+2=x+4=f(x)$

$f(x)=\sqrt{6}x$ siden $f^2(x)=\sqrt{6}(\sqrt{6}x)=6x=g(x)$

[daofeishi]

Stemmer!

Legg merke til at det også finnes flere muligheter. For den andre er $f(x)=-\sqrt{6}x$ også en funsjonal rot.

[Mayhassen]

$h(x)=ax+b$ da er den funksjonale roten til h(x)= $\frac{+}{-}\sqrt{a}x+\frac{b}{\sqrt{a}}$

edit:
Vet ikke hvordan +/- skrives i tex, men da blir det vel +/- foran roten av a her i begge ledd også for å få alle løsningene da kanskje

[daofeishi]

$h(x)=ax+b$ da er den funksjonale roten til h(x)= $\sqrt{a}x+\frac{b}{\sqrt{a}}$

$h(x)=\sqrt{a}x+\frac{b}{\sqrt{a}}\Rightarrow h^2(x)=ax+b+\frac{b}{\sqrt{a}}$

Den må nok modifiseres litt til

[Mayhassen]

Det må den ja og dette skapte hodebry på morgenen må jeg si
Her må det nok kokes kaffe skal det bli noe greie på

[Charlatan]

$h(x)=ax+b$

Går ut ifra at funksjonsroten [symbol:funksjon] er på lineær form. Og at derfor må koeffisienten til x være $\sqrt{a}$ eller $-\sqrt{a}$

La $f(x)=\sqrt{a}x+c$
Da er $f^2(x)=\sqrt{a}(\sqrt{a}x+c)+c=ax+c(\sqrt{a}+1)$
Men $b=c(\sqrt{a}+1)såc=\frac{b}{\sqrt{a}+1}$

Men la nå $f(x)=-\sqrt{a}x+c$
Da er $f^2(x)=-\sqrt{a}(-\sqrt{a}x+c)+c=ax+c(-\sqrt{a}+1)$
Men $b=c(-\sqrt{a}+1)$ så $c=\frac{b}{-\sqrt{a}+1}$

Dette gir oss funksjonsroten $f(x)=\pm \sqrt{a}x+\frac{b}{\pm \sqrt{a}+1}$

Setter prøve på svaret og ser at svaret er riktig.

[Charlatan]

$h(x)=x^4-2x^2$

Antar at funksjonsroten må være en andregradsfunksjon på formen $a{x}^2+bx+c$

La $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Da er $f^2(x)=a^3{x}^4+2a^{2}b{x}^3+(2a^{2}c+b^{2}a+ab)x^2+(2bc+b^2)x+(bc+c+c^2)$

Vi observerer ved sammenlikning med funkjsonen h at $a=1,b=0$ siden fjerdegradsleddet skal ha en koeffisient lik 1, og tredjegradsleddet ikke eksisterer (koeffisient lik 0). Setter inn for verdiene og får

$f^2(x)=x^4+(2c)x^2+c+c^2$

Men vi vet også at koeffisienten foran andregradsleddet er lik -2
Da får vi likningen $2c=-2\Rightarrow c=-1$

Dette gir oss $f^2(x)=x^4-2x^2$ Som er uttrykket vi hadde til å begynne med.

Da er funksjonsroten $f(x)=x^2-1$

[Charlatan]

$j(x)=\frac{x}{x+1}$
Antar at funksjonsroten [symbol:funksjon] er på formen $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Da er $f^2(x)=\frac{a(\frac{ax+b}{cx+d})+b}{c(\frac{ax+b}{cx+d})+d}=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+cb+d^2}$

Vi sammenligner med j:

Det gir oss likningene
$$\begin{gathered} (1)a^2+bc=1 \\ (2)b(a+d)=0 \\ (3)c(a+d)=1 \\ (4)cb+d^2=1 \end{gathered}$$

Vi observerer fra (3) at $a+d\ne 0$
Da må $b=0$ (2)
Vi setter inn i (1) og ser at $a=\pm 1$
Vi setter inn i (4) og ser at $d=\pm 1$
Da ser vi fra (3) at a og d må ha samme verdi, for uttrykket ikke skal være 0. Vi setter inn i (3)
$\pm 2c=1\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}$

Det gir oss funksjonsroten $f(x)=\frac{\pm 2x}{\pm x\pm 2}=\pm \frac{2x}{x+2}$

Setter prøve på svaret og ser at det stemmer.

[Charlatan]

$k(x)=\frac{1}{x}$

På samme måte som forrige oppgave får vi likningene

$$\begin{gathered} (1)a^2+bc=0 \\ (2)b(a+d)=1 \\ (3)c(a+d)=1 \\ (4)cb+d^2=0 \end{gathered}$$

Vi observerer at at $b\ne 0,c\ne 0,(a+d)\ne 0$

Da kan vi fra (2) og (3) se at b=c.

Det gir oss at $a^2+b^2=0$ og at $b^2+d^2=0$

som så gir at $a^2=d^2\Rightarrow a=\pm d$

Hmmm, jeg ble litt usikker på denne her, vet ikke om en entydig løsning kan finnes....

Jeg orker ikke mer av dette, lar noen andre få prøve seg.

[daofeishi]

Kjempeflott, Jarle! Godt arbeid!

Løsningen på systemet over vil gi en funksjon med komplekse koeffisienter.

Det er vanskelig å vite hvor mange funksjonale røtter en gitt funksjon har - noen funksjoner har ingen (slik som sisteoppgaven over), noen har uendelig mange. $f^2(x)=x$ har faktisk uendelig mange funksjonalrøtter. f(x) kalles i dette tilfellet en involusjon, og det kan vises at dersom $\sigma$ er en symmetrisk funksjon i to variable, slik at $\sigma (a,b)\equiv \sigma (b,a)$, vil enhver løsning av likningen $\sigma (x,f(x))=0$ være en involusjon.

Når det gjelder oppgaven med funksjonsroten av 1/x, er det god mulig signum-funsjonen kan hjelpe litt på vei: sgn(x) = -1 hvis x er negativ og 1 hvis x er positiv.

[=)]

$f(f(x))=g(x)\Rightarrow f(x)=f^{-1}(g(x))$

eller tar jeg helt feil her nå

edit: hvis den kan inverseres da, som noen har gjort meg oppmerksom på

[daofeishi]

Jada, stemmer dersom f er bijektiv. Men det spørs hvor mye det hjelper, siden f åkke som er ukjent.

Charles Babbage og vår egen Abel tok derimot i bruk en interessant metode for å lete etter løsninger.

La $\varphi$ være en bijektiv (og altså invertibel) funksjon, og la oss skrive ${\varphi }^{-1}$ for dens invers
La oss si vi har likningen $g^2(x)=f(x)$, og ønsker å finne g.

Tenk deg at vi søker etter funksjoner på formen $g(x)={\varphi }^{-1}(h(\varphi (x)))$
Da vil $f(x)=g^2(x)={\varphi }^{-1}(h^2(\varphi (x))=$
Som innebærer at $\varphi (f(x))=h^2(\varphi (x))$

Dette kalles en "conjugacy equation" på engelsk- noen som vet hva dette er på norsk?

Abel og Schröder utarbeidet noen teknikker for å løse noen spesielle typer av disse likningene, og dette kan av og til brukes for å finne en funksjonalrot.

[TrulsBR]

Angående den første bonusoppgaven: Hvis man ser på funksjonen som en lineær transformasjon og studerer det geometriske aspektet, oppdager man fort hvordan den funksjonale n'te-rota kan skrives, nemlig:
Hvis $f(x)=\frac{x}{x+1}$, så er $f^{\frac{1}{n}}(x)=\frac{x}{\frac{x}{n}+1}$.

Kan dette stemme?

[daofeishi]

Stemmer som bare søren