2MX-Krumming og vendepunkter

[Wentworth]

Oppgaven kan falle vanskelig :

Tredjegradspolynomet P(x) har et toppunkt i (-1,17) og et vendepunkt i (1,1).
Finn funksjonsuttrykket P (x)

[Mayhassen]

Den oppgaven mener jeg å huske fra sinusboka på forkurs..

Det hjelper kanskje å sette opp det du vet om den deriverte og dobbelderiverte

[Wentworth]

Jeg har for å si det slik prøvd en del mulige veier i et intervall som jeg vet om. Ikke no spes enn å finne punktene liksom...

Har tegnet grafen, med topppunktet eller den hule siden ned i -1,17 kordinatene og vendepunktet,grafen tror jeg ble riktig. Kanskje burde man kjøre tilbakeveien fra tagenten....hm....det var en tenkeoppgave ass...

[mrcreosote]

Ja, det er ei tenkeoppgave hvor du må bruke hele huet.

Et generelt tredjegradspolynom kan skrives [tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]. Hvis du med hjelp av opplysningene kan finne ut av hva a-d er, er du i mål.

[Wentworth]

Det var en god tips

[Wentworth]

Okey matematikere. Jeg fant d = 12 fordi når toppunktet går nedover fra (-1,17) kordinatene til vendepunktet sitt så skjærer den gjennom y-aksen på punkt 12. Videre fortsetter grafen nedover gjennom sitt påtruffende vendepunkt som har kordinatene (1,1) og skjærer altså x aksen på x=1. Dermed er a= 1 .

Vel da har jeg jenter og gutter :

[tex]P (x)= x^3+bx^2+cx+12[/tex] Hmm, litt av en funksjon...

[Olorin]

Det stemmer at a=1 og d=12, hvordan kan du bruke dette videre for å finne b og c?

Vet ikke helt om metoden du fant a og d på ville hjulpet deg stort uten fasit.. :p

trikset her er å sette opp

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P'(x)=3ax^2+2bx+c
P''(x)=6ax+2b

Du vet at P'(x)=0 når x=-1

Du vet at P''(x)=0 når x=1

Ut fra dette danner du deg en rekke ligninger, som du kan løse.

Du ender til slutt opp med: [tex]x^3-3x^2-9x+12[/tex]

[Wentworth]

Det falt virkelig vanskelig på meg,jeg har prøvd med derivering på enkelte likninger men uten lykke...

[arildno]

Du har 4 opplysninger om P(x):

1. Punktet (-1,17) ligger på grafen. Det vil si at P(-1)=17
2. Punktet (1,1) ligger på grafen. Det vil si at P(1)=1
3. Punktet (-1,17) er et topp-punkt. Det vil si at P'(-1)=0
4. Punktet (1,1) er et vendepunkt. Det vil si at P''(1)=0

Dette er 4 ligninger, med 4 ukjente nemlig a,b,c og d.

[Wentworth]

Nå har jeg prøvd å "leke" med toppunkt og vendepunktsformler som P `( x) =0 og P"(x)=0,men får det ikke til å få funksjonsuttrykket.

[dominat0r]

Kan sikkert hjelpe deg, men tar forbehold om feil i og med klokken er snart ett om natten

Du vet at et tredjegradspolynom ser slik ut; [tex]P(x) = ax^3+bx^2+cx+d[/tex]. Dette er noe du kan utnytte.

Utifra det du har opplyst tenker du at (-1,17) ligger på grafen, som gir [tex] P(-1)=17[/tex]

For dette setter du opp;
-a+b-c+d=17 (vi kaller dette likning 1)

(1,1) ligger på grafen og gir [tex]P(1)=1[/tex]
Vi setter opp: a+b+c+d=1 (likning 2)

[tex]P \prime (x) = 3ax^2+2bx+c[/tex]
[tex]P \prime (-1) =0[/tex]

3a-2b+c=0 (likning 3)

((1,1) et vendepunkt gir)
[tex]P \prime \prime (x)=6ax+2b[/tex]
[tex]P \prime \prime (1)=0[/tex]

6a+2b=0 (likning 4)

(1)+(2) gir: 2b+2d=18
b+d=9 (likning 5)
(2)-(-1) gir 2a + 2c = -16 .. vi deler på 2 og får a + c = -8 (likning 6)

Nå begynner vi å nærme oss noe vi kan bruke

(3)+(4) gir 9a+c=0 (likning 7)
(7)-(6) gir 8a=8

a=1 som i (6) gir 1+c=-8 .. da blir c=-9

Dette innsatt i (3) gir [tex] (3 * 1) - 2b - 9 = 0 \rightarrow -6 - 2b[/tex] vi deler på 2 og får b=-3

Innsatt i (1) gir [tex]-1-3+9+d=17[/tex] som konsekvens blir da d=12

[tex]P(x)=x^3-3x^2-9x+12[/tex]

Tar forbehold om feil (i og med jeg er stuptrøtt), men mener på at det der skal være sånn ca. lik fasitsvaret ditt. Lykke til videre

[Wentworth]

Det som står etter likning 4 skjønner jeg ikke.....

(1)+(2)=2b+2d=18

Altså likning 1 og 2 gir 17+1 = 18

Men du skriver :
2b+2d = 18

Hvor kommer 2b og 2d fra?

Etter dette er det også uforståelig,det er mange tall men står ikke hva de tallene er for no ,eller hvordan du kom fram til å få de bokstavene til å få et tall bak seg .Også forstod jeg heller ikke hvordan du fikk a til å bli et viss tall.


Altså etter likning 4 var det ikke lett for meg . Håper på en detaljert oversikt av hvordan hvert enkelt tall eller bokstav får sin fraflyttning til en viss plass.

Takker frem til likning 4

[Olorin]

Du har 4 opplysninger om P(x):

1. Punktet (-1,17) ligger på grafen. Det vil si at P(-1)=17
2. Punktet (1,1) ligger på grafen. Det vil si at P(1)=1
3. Punktet (-1,17) er et topp-punkt. Det vil si at P'(-1)=0
4. Punktet (1,1) er et vendepunkt. Det vil si at P''(1)=0

Dette er 4 ligninger, med 4 ukjente nemlig a,b,c og d.

Ta utgangspunkt i dette og prøv selv! dette var også fremgangsmåten min

P(-1)=17 dvs. [tex]a(-1)^3+b(-1)^2+(-1)c+d=17[/tex]
P(1)=1
P'(-1)=0
P''(1)=0

Dette GIR 4 likninger med 4 ukjente som kan løses

[daofeishi]

Velkommen til forumet dominat0r, men husk for framtiden at du hjelper andre best ved å gi hint og lar dem prøve selv, ikke ved å gi fullstendige løsninger. Å gi fullstendige løsningsforslag kan ofte være det samme som å hjelpe andre til å lure seg selv. Dersom du har lyst til å prøve deg på oppgaver er nøtteforumet tilgjengelig

[Wentworth]

Nå har jeg det :

Toppunkt [tex](-1,17)[/tex] bunnpunkt [tex](1,1)[/tex]

Da vet vi at :
1.Toppunkt = [tex]P (-1)=17[/tex] fordi det ligger på grafen.
2.Bunnpunkt= [tex] P(1)=1[/tex] også fordi det ligger på grafen.

Toppunktdefinisjonsuttrykket [tex]P`(x)=0[/tex]
Vendepunktsdefinisjonsuttrykket [tex]P"(x)=0[/tex]

3.Da er toppunkt her definert som [tex]P`(-1)=17[/tex]
4.Bunnpunkt [tex]P"(1)=1[/tex]

Utnytter [tex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex] slik for de fire ulike likningene med 4 ukjente :

For likning 1 der [tex]P(-1)=17[/tex]:
[tex]a(-1)^3+b(-1)^2^+(-1)c+d=17[/tex]
1.[tex]-a+b-c+d=17[/tex]

For likning 2 der [tex]P(1)=1[/tex]
[tex]a(1)^3+b(1)^2+c*1+d=1[/tex]
2.[tex]a+b+c+d=1[/tex]

For likning 3 der [tex]P`(-1)=0[/tex]som etter deriveringen gir:[tex]3ax^2+2bx+c=0[/tex]
Da er
[tex]3a*(-1)^2b*(-1)+c=0[/tex]
3.[tex]3a-2b+c=0[/tex]

For likning 4 der [tex]P"(1)=0[/tex] etter andrederiveringen gis dette uttrykket :
[tex]6ax+2b=0[/tex]
[tex]6a*1+2b=0[/tex]
4.[tex]6a+2b=0[/tex]

Dette gir [tex]\frac{2b}{2}=\frac{-6a}{2}[/tex]
[tex]b=-3a[/tex]

Da går vi baklengs og setter i uttrykkene ettersom vi finner de forskjellige uttrykkene for bokstaven,nå fant vi uttrykket for b, da setter vi inn i likning 3 og finner et uttrykk igjen fra likning 3 som fvi setter i likning 2 der vi finner enda et uttrykk i likning 2 som vi setter i likning 1. Til slutt setter vi inn uttrykket i tredjegradslikningen for da har vi funnet alle uttrykkene for bokstavene , altså de ukjente. Det blir dermed slik for uttrykk b som vi begynner å sette i likning 3 slik :

[tex]3a-2b+c=0[/tex]
[tex]3a-2*(-3a)+c=0[/tex]
[tex]3a+6a=0[/tex]
[tex]c=-9a[/tex]

Uttrykket for c og b setter vi i likning 2 som forklart:
[tex]a+b+c+d=1[/tex]
[tex]a+(-3a)+(-9a)+d=1[/tex]
[tex]-11a+d=1[/tex]
[tex]d=1+11a[/tex]

Uttrykket for d, b og c setter vi inn i likning 1 slik :
[tex]-a+(-3a)-(-9a)+(1+11a)=17[/tex]
[tex]-4a+9a+11a=17-1[/tex]
[tex]16a=16[/tex]
[tex]\frac{16a}{16}=\frac{16}{16}[/tex]
[tex]a=1[/tex]

Da som vi har funnet uttrykket for a kan vi enkelt finne uttrykket for d som vi finner slik :
[tex]d=1+11*1=12[/tex]
[tex]d=12[/tex]

Da som [tex]b=-3a[/tex] er [tex]-3*1=-3[/tex] fordi a =1

Og det samme gjelder når [tex]c=-9a[/tex] er [tex]c=-9*1=-9[/tex]

Da har vi alle de trengte uttrykkene for de ukjente boksavene å fullføre innsettingen av tall i tredjegradslikningen.

Nemlig :
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=-3[/tex]
[tex]c=-9[/tex]
[tex]d=12[/tex]

Setter det i Tredjegradspolynomet [tex]P (x) = ax^3+bx^2+cx+d[/tex]

Innsetter verdiene :

[tex]P(x)=(1)x^3+(-3)x^2+(-9)x+12[/tex]

Da har vi funksjonsuttrykket :
[tex]x^3-3x^2-9x+12[/tex]

Dette er en fantastisk oppgave,man må bare sette seg i det .

Takk til alle deltakere.Spesielt til absolutt alle.