Maclaurinrekken

[monster]

Finn Maclaurinrekken (altså taylorrekken om a=0) for f(x) = (x^2 - 1) sin (-x)?

Kan noen forklare hvordan man går frem til svaret? jeg har ingen peiling
Takk

[Janhaa]

Bruk formelen:

$M(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k=f^{,}(0)x+\frac{1}{2}{f}^{"}(0)x^2+\frac{1}{6}{f}^{(3)}(0)x^3+...+\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(0)x^k$

der

$f^{,}(x)=-x^2\cos (x)-2x\sin (x)+\cos (x),x>0$
og
$f^{"}(x)=(x^2-3)\sin (x)-4x\cos (x),x>0$

[zell]

I første omgang må du se på hva en MacLaurin-rekke er!

La f være en funksjon som inneholder deriverte av alle ordre, gjennom et intervall som inneholder et punkt a. MacLaurin-rekken generert av f kan da skrive som:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{[k]}(0)}{k!}\cdot x^k=f(0)+f^{,}(0)x+\frac{f^{,,}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{[n]}(0)}{n!}{x}^n+\cdots$

[Mayhassen]

Et lite spørsmål bare, hva er tall med utropstegn bak seg? Var litt vanskelig å søke etter det..

[zell]

Betyr fakultet.

2! = 2*1
3! = 3*2*1
4! = 4*3*2*1

osv.

[=)]

på engelsk factorial, har også en analytisk kontinuasjon ved gamma og pi funksjonene.

[fish]

Når det gjelder funksjonen $f(x)=(x^2-1)\sin (-x)$ er vel trikset å ta utgangspunkt i maclaurinrekka til $\sin (x)$, altså

$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\dots +(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+\dots$

Av dette får man

$\sin (-x)=-x+\frac{1}{3!}{x}^3-\dots +(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+\dots$

Videre får vi

$x^2\sin (-x)=-x^3+\frac{1}{3!}{x}^5-\dots +(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+3}+\dots$

Poenget blir nå å ta denne rekka og trekke fra rekka til $\sin (-x)$ (som er det samme som å legge til rekka til $\sin x$)