Implisitt derivasjon og bevis

[torsun]

Gitt ligningen [tex]x^3+y^3=xy-1[/tex] vis at grafen ikke har horisontale tangenter i noen punkter.

Greit nok, [tex]\frac{dy}{dx}=0[/tex] Bruker implisitt derivasjon og ender opp med:

[tex]\frac{3x^2-y}{x-3y^2}=\frac{dy}{dx}[/tex]

Jeg klarer ikke å tolke noe svar ut fra den deriverte som sier at dy/dx er forskjellig fra 0 for alle x,y. Derfor var tanken å se på den andrederiverte. Om [tex]\frac{d^2y}{dx^2}<0[/tex] eller [tex]\frac{d^2y}{dx^2}>0[/tex] for alle x og y, vil den førstederiverte aldri skifte fortegn, og dermed aldri bli null.

Når jeg forsøker å regne ut den andrederiverte får jeg et evig langt stykke som jeg ikke ser noen løsning på... Noen forslag?

[fish]

Du har at [tex]\frac{dy}{dx}=0[/tex] dersom du kan finne punkter på kurven der [tex]y=3x^2[/tex]. Forsøk derfor å sette inn [tex]y=3x^2[/tex] i likningen for kurven. Du vil da finne at den sjettegradslikningen som da fremkommer ikke vil ha reelle løsninger (kamuflert andregradslikning).