Sum

[Magnus]

Ok, denne kan løses greit hvis man bruker at $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Bestem $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{3^m}{\cos }^3(3^{m}x)$

[daofeishi]

Jeg gjør et forsøk.

Vi benytter oss av at $4{\cos }^3(x)=3\cos (x)+\cos (3x)$, noe som kan vises med de Moivres identitet over.

Vi skal bestemme summen
$S=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^m{\cos }^3\left(3^{m}x\right)$

Fra trippelvinkelidentiteten over, følger det at
$\begin{array}{rl}4S& =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^m[3\cos \left(3^{m}x\right)+\cos \left(3^{m+1}x\right)]\\ & =3\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^m\cos \left(3^{m}x\right)+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^m\cos \left(3^{m+1}x\right)\\ & =3\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^m\cos \left(3^{m}x\right)-3\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^{m+1}\cos \left(3^{m+1}x\right)\\ & =3\cos (x)\end{array}$

Dette gir at
$S=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{3})}^m{\cos }^3\left(3^{m}x\right)=\frac{3}{4}\cos (x)$

[Magnus]

Fint!