Fysikk: CD-plater

[daofeishi]

På en CD er musikk kodet binært i små groper langs et spor som slynger seg som en spiral fra senter av CDen og ut til ytterkanten. Når en CD blir spilt av i en CD-spiller, blir sporet avlest med en lineær hastighet på 1.25 m/s. Fordi sporets radius forandrer seg etterhvert som vi nærmer oss ytterkanten på CDen, vil vinkelhastigheten til CD-platen forandres kontinuerlig mens CDen spilles av. Den indre radiusen på CDen er 25 mm, og radiusen øker med 1.55 mikrometer per omdreining. Total spilletid er 74.0 minutter.

a) Fiinn totaldistansen (i meter) som er skannet, som en funksjon av omløpsvinklen til CDen $\theta$

b) Finn $\theta$ som en funksjon av tid

c) Finn vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til CDen som funksjoner av tid.

d) Finn antall omdreininger CDen gjør på en gjennomspilling.

[Themaister]

Argh =P Får ikke denne til å løsne. Går det an å løse den med vanlig VGS-derivasjon/integrasjon?

[Charlatan]

Hm, vet ikke om dette er riktig altså.

Først finner vi vektorfunksjonen til en spiral, den må være på formen

$\overrightarrow{r}(t)=[atcost,atsint]$
for en konstant a

Nå vil vi at denne funksjonen skal ha den egenskapen at lengden av den øker med $1.55\ast {10}^{-6}m$ (=1.55 mikrometer) per omdreining. Vi finner lengden:

$|\overrightarrow{r}(t)|=at$
Og vi vil at $a(t+2\pi )=at+1.55\cdot {10}^{-6}$
Altså at $a=\frac{31\cdot {10}^{-7}}{4\pi }$

Men hele spiralen er ikke definert. Spiralen begynner når avstanden er $2.5\cdot {10}^{-3}$ m unna origo. Vi finner t=b-verdien:
$ab=2.5\cdot {10}^{-3}$
$b=\frac{{10}^5\pi }{31}$

$\overrightarrow{r}(t)=\frac{31\cdot {10}^{-7}}{4\pi }[tcost,tsint]$

Funksjonen er nå definert for $t\in [b,\mathrm{\infty }⟩$

Nå vil vi finne lengden av spiralen.

Lengden som funksjon av omløpsvinkel $\theta$ (Merk, vi setter nullpunktet for omløpsvinkelen til b, derfor vil øvre grense være $\theta +b$ ) er $L(\theta )$ som er gitt ved

$L(\theta )={\int }_b^{\theta +b}|{\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)|dt$

$L(\theta )=\frac{\frac{31}{4}\cdot {10}^{-7}}{\pi }{\int }_{\frac{{10}^5\pi }{31}}^{\theta +\frac{{10}^5\pi }{31}}\sqrt{t^2+1}dt$

(Mellomregning: deriverte r(t))

Her stoppet det, fant ut at jeg ikke på egenhånd kunne integrere dette uttrykket, så jeg brukte internett og fant at $L(\theta )$ er som følger:

$L(\theta )=\frac{1}{2}(\sqrt{(\theta +\frac{{10}^5\pi }{31}{)}^2+1}(\theta +\frac{{10}^5\pi }{31})+\ln (\theta +\frac{{10}^5\pi }{31}+\sqrt{(\theta +\frac{{10}^5\pi }{31}{)}^2+1}))-\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{{10}^{10}{\pi }^2}{961}+1}(\frac{{10}^5\pi }{31})+\ln \frac{{10}^5\pi }{31}+\sqrt{\frac{{10}^{10}{\pi }^2}{961}+1}))$

Merk: $\int \sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(\sqrt{x^2+1}x+\ln (x+\sqrt{x^2+1}))+C$
Dette ble veldig tungvint, og jeg er sikker på at det finnes en enklere måte.
En ganske utilfredsstillende løsning. Dessuten åpner den ikke for videre regning på de andre oppgavene.
Men jeg tror iallefall at dette er uttrykket for lengden av spiralen etter omløpsvinkelen. Håper det var det oppgaven mente.

[Charlatan]

EDIT: bare glem det...