Oppgaver for videregående skole

[mrcreosote]

Her følger noen oppgaver som alle kan løses med vanlige teknikker man lærer i videregående skole eller bare enorme mengder griseregning. Ofte vil det imidlertid bli slitsomt å gjennomføre dette så alle har i tillegg (minst!) en annen løsning som er lettere og mer elegant; se om du kan finne denne!

1) Finn et enklere uttrykk for $\frac{{2008}^2-{2007}^2}{2008+2007}$.

2) Hvis x+y=2 og xy=3, hva er da $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$?

3) For hvilke reelle x gjelder det at $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2$?

4) Polynomet $P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5{)}^5$ kan skrives som $a_{20}{x}^{20}+a_{19}{x}^{19}+\cdots +a_{1}x+a_0$ der koeffisientene a er reelle tall.
Bestem $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{20}$.
Hva med $a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{19}$?
Enn $a_0+a_3+a_6+\cdots +a_{18}$?

5) Vis at $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{23}{24}<\frac{1}{5}$

6) Det reelle polynomet $Q(x)=x^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ er slik at Q(1)=1, Q(2)=2 og Q(3)=3. Bestem Q(4).

7) Vis at 9991 og 12317 ikke er primtall.

8) Sam & Ella triller terninger om penger. Reglene er at de kaster 3 terninger hver og den som får høyest sum vinner, hvis det blir likt triller de en gang til. Dette spillet spiller de hver dag med 1 krone per spiller i innsats. Hvis Sam vinner slutter de å spille, men hvis Ella vinner spiller de på nytt helt til Sam har vunnet en gang eller tapt 5 kroner. Hvem vil tjene hvor mye på dette spillet i lengden hvis de møtes på nytt hver dag og spiller? Hva hvis det ikke er en begrensning på Sams daglige tap?

[JonasBA]

1.

$\frac{{2008}^2-{2007}^2}{2008+2007}=\frac{(2008-2007)\cancel{(2008+2007)}}{\cancel{(2008+2007)}}=1$

2.

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{y+x}{yx}=\frac{2}{3}$

[Vektormannen]

3.

$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2$

$x^2+2\ge \sqrt{4x^2+4}$

$(x^2+2{)}^2\ge 4x^2+4$

$x^4+4x^2+4\ge 4x^2+4$

$x^4\ge 0$

$x\in \mathbb{R}$

Det gjelder altså for alle reelle x.

Men er litt usikker her ...

[Charlatan]

4) Polynomet $P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5{)}^5$ kan skrives som $a_{20}{x}^{20}+a_{19}{x}^{19}+\cdots +a_{1}x+a_0$ der koeffisientene a er reelle tall.
Bestem $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{20}$.
Hva med $a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{19}$?
Enn $a_0+a_3+a_6+\cdots +a_{18}$?

1. Vi ser at vi oppnår denne summen som verdien av polynomet for x=1

$P(1)=(1+1-6+5{)}^5=1$

2.
Vi vil kun ha $a_k$ hvor $k$ er odde. Vi kaller $a_k$ når $k$ er odde for "odde" koeffisienter, og $a_k$ når $k$er par for "par" koeffisienter. Hvis x=-1, så vil alle de "odde" koeffisientene ha negativt fortegn, og de "par" koeffisientene ha positivt fortegn. $-P(-1)$ vil ha motsatt fortegn på alle koeffisientene. La oss addere dette med $P(1)$, da vil de "odde" koeffisientene kanselleres, og de "par" koeffisientene fordobles. Så summen av rekken blir $\frac{P(1)-P(-1)}{2}=\frac{1-(1-1-6+5{)}^5}{2}=1$
3. Vi gjør likedan, men vil ikke ha med $a_{20}$. Her adderer vi $P(1)$ med $P(-1)$ for å kansellere de "odde" koeffisientene, og fordoble de "par". Vi ser dessuten at $a_{20}$ er 1, siden $a_{20}{x}^{20}=(x^4{)}^5$
Så summen blir $\frac{P(1)+P(-1)}{2}-1=-1$

[mrcreosote]

1 og 2 - bra! De enkle løsningene.

3 holder som alle x - helt korrekt. Hint til en problemløserløsning: $a+\frac{1}{a}\ge 2$ for alle positive a.

4: De 2 første deloppgavene stemmer, men les den tredje oppgava på nytt. Det er en litt mer kompleks oppgave enn de to første.

[Charlatan]

ahaaa, leste litt feil. Setter igang...

[Vektormannen]

6.

Håper ikke det gjør noe at jeg tar denne nå.

$Q(x)=x^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Kaller $a_2$ for $a$, $a_1$ for $b$ og $a_0$ for $c$.

Vi vet følgende:

$1+a+b+c=1$

$8+4a+2b+c=2$

$27+9a+3b+c=3$

Fra den første påstanden får vi at $a=-b-c$. Vi lager et likningssett:

I) $4(-b-c)+2b+c=-6$
$-4b-4c+2b+c=-6$
$2b+3c=6$

II) $9(-b-c)+3b+c=-24$
$-9b-9c+3b+c=-24$
$6b+8c=24$

I) $b=\frac{6-3c}{2}$

II) $6\left(\frac{6-3c}{2}\right)+8c=24$
$18-9c+8c=24$
$c=-6$

I) $b=\frac{6-3\cdot (-6)}{2}=12$

$a=-b-c=-12+6=-6$

Vi har altså: $a_2=-6,a_1=12,a_0=-6$

$Q(x)=x^3-6x^2+12x-6$

$Q(1)=1-6+12-6=1$

$Q(2)=8-6\cdot 4+12\cdot 2-6=2$

$Q(3)=27-6\cdot 9+12\cdot 3-6=3$

$Q(4)=64-6\cdot 16+12\cdot 4-6=10$

[daofeishi]

4) Polynomet $P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5{)}^5$ kan skrives som $a_{20}{x}^{20}+a_{19}{x}^{19}+\cdots +a_{1}x+a_0$ der koeffisientene a er reelle tall.
...
Enn $a_0+a_3+a_6+\cdots +a_{18}$?

Jeg tillater meg å hinte om hvordan denne kan løses med komplekse tall:
La $\zeta$ være en primitiv tredjerot av enheten, slik at ${\zeta }^3=1$. Vi kan f.eks. benytte $\zeta =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$. En egenskap ved en slik rot, er at $\frac{1+{\zeta }^n+{\zeta }^{2n}}{3}$ er 1 dersom 3 er faktor av n, og 0 ellers.

[mrcreosote]

Jeg ser hueregninga mi svikta litt da jeg skulle lage polynomet i oppgave 4, jeg ville vel egentlig hatt noe som $(x^4+2x^2+x-3{)}^5$ som gjør det litt mer behagelig å regne til slutt. Men det er vel tanken som teller eller no' sånt.

6: Riktig det. Oppfølger: La $R(x)=x^8+a{x}^7+b{x}^6+c{x}^5+d{x}^4+e{x}^3+f{x}^2+gx+h$ og R(n)=n for n=1,2,...,8. Bestem R(9). (Eventuelt kan du starte med et tilsvarende polynom av grad 2,4,5 osv og se om du ser et mønster.)

[Vektormannen]

Tenkte meg det var et mønster ja ... Prøver meg på den igjen senere.

[Charlatan]

4) Polynomet $P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5{)}^5$ kan skrives som $a_{20}{x}^{20}+a_{19}{x}^{19}+\cdots +a_{1}x+a_0$ der koeffisientene a er reelle tall.
...
Enn $a_0+a_3+a_6+\cdots +a_{18}$?

Jeg tillater meg å hinte om hvordan denne kan løses med komplekse tall:
La $\zeta$ være en primitiv tredjerot av enheten, slik at ${\zeta }^3=1$. Vi kan f.eks. benytte $\zeta =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$. En egenskap ved en slik rot, er at $\frac{1+{\zeta }^n+{\zeta }^{2n}}{3}$ er 1 dersom 3 er faktor av n, og 0 ellers.

Sekundet etter jeg fikk vite at oppgaven var annerledes enn jeg hadde gjort, kortsluttet internett, siden da har jeg tenkt på muligheten ved å bruke komplekse tall.

Hvordan finner man sånne uttrykk som det der daofeishi?

[mrcreosote]

Bli kjent med enhetsrøtter, de er dine venner i mange problemløsningsoppgaver. Man benytter man seg av at ${\zeta }_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ har en del egenskaper som er hyggelige. Her er et par du kan bevise, både med algebra og geometri:

$\sum _{k=0}^{n-1}{\zeta }_n=0$ (Herav følger daofeishis siste formel.)

$\prod _{k=0}^{n-1}(x-{\zeta }_n^k)=x^n-1$