Julenøttstafett

[daofeishi]

Det nærmer seg julekveld, med tilhørende bordbedekning, CD-valg, pinnekjøtt, multekrem, søskenbarn i sukkerrus og fritt valgt mattebok pakket inn i julepapir under grana - med hilsen fra nissen.

Som nedtelling til kvelden, foreslår jeg en liten julestafett på tampen. Stafetten fungerer på denne måten:

Jeg legger ut en mattenøtt. Førstemann til å løse denne overtar stafettpinnen, og legger ut en ny nøtt - og slik forstetter stafettløpet.

Regelen for nøttene er: Alle skal være løselige med teknikker fra videregående skole, og skal ikke kreve kreve bruk av datamaskin eller kalkulator.

(Nøtten din kan dermed ikke begynne med ordene "la (X,d) være et kompakt metrisk rom..." eller "finn det femhundredeogtolvtusende leddet av denne ikke-reduserbare rekursive rekken")

Kan vi klare å løse 24 nøtter før den 24. desember?


Første stafettnøtt
Hvis $x+y=x^2+y^2=10$, hva er $x^3+y^3$?

[Knuta]

En liten lureoppgave?

[Charlatan]

Fint initiativ

$x+y=10\Rightarrow (x+y{)}^2=100\Rightarrow x^2+y^2+2xy=100\Rightarrow 2xy=90\Rightarrow xy=45$

$$\begin{gathered} (x+y)(x^2+y^2)=100\Rightarrow x^3+y^3+x{y}^2+y{x}^2=100\Rightarrow x^3+y^3+(x+y)xy=100 \\ \Rightarrow x^3+y^3+(10)(45)=100\Rightarrow x^3+y^3=-350 \end{gathered}$$

Merk: x og y er IKKE reelle

Neste stafettnøtt:

La ${}_{\ast }$ være en operasjon definert ved at
$(a$ ${}_{\ast }$ $b)=a^2+b^2+ab$

Hva er da $($$(2$${}_{\ast }$$1)$${}_{\ast }$$(3$${}_{\ast }$$(-5)))$?

[daofeishi]

Flott, Jarle! Stemmer selvsagt!

[Olorin]

Fint initiativ

Neste stafettnøtt:

La ${}_{\ast }$ være en operasjon definert ved at
$(a$ ${}_{\ast }$ $b)=a^2+b^2+ab$

Hva er da $($$(2$${}_{\ast }$$1)$${}_{\ast }$$(3$${}_{\ast }$$(-5)))$?

La $2\ast 1=A$ og $3\ast (-5)=B$

Ser av stykket at produktet av A * B blir svaret på nøtta

Dermed står jeg igjen med;

$A\ast B$

$A=2^2+1^2+2\cdot 1=7$

$B=3^2+(-5{)}^2+3\cdot (-5)=9+25-15=19$

$A\ast B=7^2+{19}^2+7\cdot 19=49+361+133=543$

Skal se om jeg finner en middels vanskelig nøtt til fortsettelsen

Btw, Jarle, endrer du den første posten din slik at tråden ikke blir forskyvet mot høyre? den ene tex-koden som forårsaker det tror jeg.

[Olorin]

Oppfølger;

Beregn uten bruk av kalkulator en eksakt verdi for

$\sin (u+v)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{u}=\arccos (\frac{3}{5})\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{v}=\arctan (\frac{12}{5})$

[Charlatan]

Fin oppgave forresten.


$$\begin{gathered} u=\arccos (\frac{3}{5}),v=\arctan (\frac{12}{5})\Rightarrow \tan (v)=\frac{12}{5} \\ \Rightarrow \sin (v)=\frac{12}{5}\cos (v)\Rightarrow \sin (v)+\frac{-12}{5}\cos (v)=0 \\ \Rightarrow \frac{13}{5}(\sin (v)\cdot \frac{5}{13}+\cos (v)\cdot \frac{-12}{13})=0 \\ \Rightarrow \sin (v+\theta )=0 \\ \theta =\arccos (\frac{5}{13}),\theta =\arcsin (\frac{-12}{13}) \\ \Rightarrow v+\theta =k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow v=k2\pi -\theta \\ \sin (u+v)=\sin (u)\cos (v)+\sin (v)\cos (v) \\ \Rightarrow \sin (u+v)=\sin (\arccos (\frac{3}{5}))\cos (k2\pi -\theta )+\cos (\arccos (\frac{3}{5}))\sin (k2\pi -\theta ) \\ \Rightarrow \sin (u+v)=\frac{4}{5}\cos (\theta )-\frac{3}{5}\sin (\theta ) \\ \Rightarrow \sin (u+v)=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{-12}{5} \\ \Rightarrow \sin (u+v)=\frac{56}{65} \end{gathered}$$

(Jeg foreslår at dette forumet får en funksjon slik at det går an å skjule løsningsforslag sånn at andre kan prøve seg og!)

Neste stafettnøtt:

Vi har en sekskant med en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene. La sidene i sekskanten være 1,2,3,4,5,x. Hva er x?

[Olorin]

Fin løsning jarle ! stemmer.

Ang. den skjulemekanismen for løsningsforslag er jeg helt enig i. På enkelte sider finnes det en "Spoiler" funksjon som gjør det mulig å legge tekst i en ramme som kan skjules og vises av den som leser.

[Janhaa]

Fin oppgave forresten.
Vi har en sekskant med en innskrevet sirkel som tangerer alle sidene. La sidene i sekskanten være 1,2,3,4,5,x. Hva er x?

Faktisk fikk jeg hint ved geometrioppgava mi, og som daofeishi løste i natt.

Anta vi nummererer hjørnene i sekskanten og tangeringspuntene mellom sekskanten og sirkel, fra kl 12 (pkt A), og med klokka. Da blir første tangeringspkt B og neste hjørne C (med klokka). Jeg har ingen tegning dessverre, håper derfor min forklaring er forståelig.
Hele veien rundt omfatter tom. bokstaven L (12 punkter av hjørner og tangeringspkt).
Uansett, observeres BC = CD = 0,5 og DE = EF = 2,5
slik at CE = x = 0,5 + 2,5 = 3

tror dette stemmer?

EDIT; slurvefeil.

[Charlatan]

Enkelt og greit, det stemmer ja!

oppfølger?

[Janhaa]

Enkelt og greit, det stemmer ja!
oppfølger?

Nei, dessverre. er litt opptatt nå, er noe juleøl på gang.
Sender derfor stafettpinnen videre jeg.

[Magnus]

Bestem alle tallsett (x,y,z) som tilfredstiller

1) $x+y=2$
2) $xy-z^2=1$

[JonasBA]

$$\begin{gathered} x=1 \\ y=1 \\ z=0 \end{gathered}$$

Hmm, dette er det eneste reelle settet jeg finner. Finnes det flere?

[Vektormannen]

Bøgpost ... Dumt av meg å trekke inn komplekse tall. Da blir det bare uendelig mange sett som oppfyller likningene.

[Magnus]

Relle tall ja.. Tja, kanskje ikke, men kan du bevise det?