Hva er en egenverdi for en matrise? Setter pris på en kort forklaring. Det står ikke noe i leksikonet på nettsiden.
Jeg vet at egenverdien til denne matrisen er 1.
[tex]M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Men jeg vet ikke hva det er, eller hvordan man finner det.
Egenverdi
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Den korte forklaringen:
Egenverdien til en matrise A, ofte betegnet med lambda, er en skalar som er slik at (x er en vektor):
[tex]Ax = \lambda x[/tex]
Den litt omfattende forklaringen til hvordan vi finner den:
starter med litt algebra.
[tex]Ax - \lambda x= 0[/tex]
[tex](A - \lambda I )x= 0[/tex] (I er identitetsmatrisen)
Vi bruker den karakteristiske ligningen for å finne egenverdiene, så i ditt tilfelle finner vi egenverdiene til matrisen M ved å finne determinanten til:
det[tex](M-\lambda I) = 0[/tex]
[tex]\lambda I = \lambda \large\left( \begin{array}{ccc}&1&0&0\\&0&1&0\\ &0&0&1\\ \end{array}\right) = \large\left( \begin{array}{ccc}&\lambda&0&0\\ &0&\lambda&0\\ &0&0&\lambda\\ \end{array}\right)[/tex]
Som gir
[tex]M-\lambda I = \large\left( \begin{array}{ccc}& -\lambda&1&2\\ &0.5&-\lambda&0\\ &0&0.5&-\lambda\\ \end{array}\right)[/tex]
Determinanten til denne matrisen gir oss etterhvert den karakteristiske ligningen, som er
[tex]-(\lambda^3 - 0.5\lambda - 0.5)[/tex]
som åpenbart har 1 som løsning. Vi får
[tex]-(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 0.5)[/tex]
og ser at det er ytterligere 2 egenverdier, men de er komplekse.
Det heter forresten eigenvalues på engelsk, i tilfelle du vil ha litt mer info om det.
Edit Skriveleif!
Egenverdien til en matrise A, ofte betegnet med lambda, er en skalar som er slik at (x er en vektor):
[tex]Ax = \lambda x[/tex]
Den litt omfattende forklaringen til hvordan vi finner den:
starter med litt algebra.
[tex]Ax - \lambda x= 0[/tex]
[tex](A - \lambda I )x= 0[/tex] (I er identitetsmatrisen)
Vi bruker den karakteristiske ligningen for å finne egenverdiene, så i ditt tilfelle finner vi egenverdiene til matrisen M ved å finne determinanten til:
det[tex](M-\lambda I) = 0[/tex]
[tex]\lambda I = \lambda \large\left( \begin{array}{ccc}&1&0&0\\&0&1&0\\ &0&0&1\\ \end{array}\right) = \large\left( \begin{array}{ccc}&\lambda&0&0\\ &0&\lambda&0\\ &0&0&\lambda\\ \end{array}\right)[/tex]
Som gir
[tex]M-\lambda I = \large\left( \begin{array}{ccc}& -\lambda&1&2\\ &0.5&-\lambda&0\\ &0&0.5&-\lambda\\ \end{array}\right)[/tex]
Determinanten til denne matrisen gir oss etterhvert den karakteristiske ligningen, som er
[tex]-(\lambda^3 - 0.5\lambda - 0.5)[/tex]
som åpenbart har 1 som løsning. Vi får
[tex]-(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 0.5)[/tex]
og ser at det er ytterligere 2 egenverdier, men de er komplekse.
Det heter forresten eigenvalues på engelsk, i tilfelle du vil ha litt mer info om det.
Edit Skriveleif!
Sist redigert av Markonan den 08/01-2008 20:38, redigert 1 gang totalt.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Nei, det holder kun for egenvektoren. (Eigenvector).Jarle10 skrev:Tusen takk for svar.
Jeg er litt usikker på definisjonen. Er det for enhver vektor x?
(Bare jeg som surrer litt).
Definisjonen er sånn ca.
En egenvektor til matrisen M er en vektor x slik at
[tex]Ax = \lambda x[/tex] for en vilkårlig skalar \lambda.
En skalar \lambda kalles en egenverdi til A hvis det er en ikketriviell løsning x til
[tex]Ax = \lambda x[/tex]
Jeg siktet på matrisen M som kom i det(M-\lambda I)Jarle10 skrev:Men du nevner at vi må i mitt tilfelle finne determinanten. Hvorfor må vi det?
Har bare brukt den til å finne egenverdier. Står mer om den her:Jarle10 skrev:Og er en "karakteristisk likning" noe spesielt?
http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_equation
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Lay fokuserer mye på anvendelser og hopper litt bukk over teorien. Det fins en mer teoretisk bok av Friedberg, Insel og Spence og den tar også opp flere emner. Jeg liker denne mye bedre, men det har kanskje sammenheng med at jeg brukte Lay i 1120 som var et skikkelig sirupkurs.
En liten digresjon her
Egenverdilikninga (*) er analog til Schrødingerlikninga (**)
[tex]Ax\,=\,\lambda x\,\,(*)[/tex]
[tex]\hat H \Psi\,=\,E \Psi\,\,(**)[/tex]
den tidsuavhengige Schrødingerlikninga
Vi ser likheten mellom (*) og (**). Når matrisa "virker" på en egenvektor fåes en egenverdi og vektoren tilbake.
På samme måte når Hamiltonoperatoren virker på bølgefunksjonen, popper energien (til systemet) ut, og bølgefunksjonen forblir uforandra.
Egenverdilikninga (*) er analog til Schrødingerlikninga (**)
[tex]Ax\,=\,\lambda x\,\,(*)[/tex]
[tex]\hat H \Psi\,=\,E \Psi\,\,(**)[/tex]
den tidsuavhengige Schrødingerlikninga
Vi ser likheten mellom (*) og (**). Når matrisa "virker" på en egenvektor fåes en egenverdi og vektoren tilbake.
På samme måte når Hamiltonoperatoren virker på bølgefunksjonen, popper energien (til systemet) ut, og bølgefunksjonen forblir uforandra.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Jeg har blitt sterkt anbefalt Sheldon Axler - Linear Algebra Done Right fra noen venner som studere i statene. Jeg har selv begynt på denne boken, og den dekker det teoretiske aspektet veldig godt. (Den introduserer ikke determinanter som en "trylleformel" som mange andre bøker i lineær algebra gjør.) Tekster med litt flere oppgaver i hvordan konseptene brukes kan finnes gratis på nett. Jeg tror en mann ved navn Jim Hefferon har lagt ut en rimelig god bok. Prøv å google dette.
Hva mener du med sirupkurs? Mulig jeg er enig med deg, har hatt faget nå, og har vel ikke lært så veldig mye mer enn anvendelser. Teorien vil jo være veldig viktig i et abstrakt tema som lineær algebra...mrcreosote skrev:Lay fokuserer mye på anvendelser og hopper litt bukk over teorien. Det fins en mer teoretisk bok av Friedberg, Insel og Spence og den tar også opp flere emner. Jeg liker denne mye bedre, men det har kanskje sammenheng med at jeg brukte Lay i 1120 som var et skikkelig sirupkurs.