Likesidet trekant...

[Vilde]

Oppgave:

Dette burde være lett, men vi har litt problemer... er egentlig spørsmål på ungdomskole stadiet...

En likesidet trekant har areal på 64 cm[sup]2[/sup]

Hvor lange er sidene?

Hvordan regner vi ut dette???

[Markonan]

Arealet A til en likesidet trekant er
$A=\frac{\text{sq}3}{4}(s^2)$

der s er sidelengden.

Da skal resten være rett frem.

[Realist1]

Hva med å forklare hvorfor formelen er slik?

[Vektormannen]

Har lite å gjøre, så ...

Vi trekker en normal fra den ene vinkelen og ned på motstående side. Dette blir da høyden i trekanten. Normalen deler siden i to like store deler. Da har vi delt inn trekanten i to 30-60-90-trekanter, der hypotenusen er lik sidelengden i den opphavelige trekanten, den ene kateten er halvparten av denne, og den andre kateten er normalen (høyden). Sideforholdene i en slik trekant er $1:2:\sqrt{3}$. Det kan enkelt vises ved hjelp av pytagoras: Den ene kateten vet vi er halvparten så stor som hypotenusen. Hvis hypotenusen har lengde 2, vil den ene kateten da ha lengde 1. Høyden h finner vi da slik:

$1^2+h^2=2^2\iff h=\sqrt{2^2-1}=\sqrt{3}$

Høyden kan vi utrykke ved hjelp av sidelengden i den likesida trekanten: $h=\frac{1}{2}s\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$

Grunnlinjen i deltrekantene blir halvparten av sidelengden: $G=\frac{1}{2}s$

Nå kan vi uttrykke arealet av deltrekantene: $A_{del}=\frac{Gh}{2}=\frac{\frac{1}{2}s\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}s}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2}{2}$

Den likesida trekanten består av to slike trekanter. Arealet må da bli det dobbelte av arealet til deltrekantene:

$A=2A_{del}=\cancel{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$

Edit: dette ble kanskje litt surrete.

[Klaus Knegg]

En median vil dele likesidede trekanter i 2 rettvinklede. Arealet av hele trekanten er $A=\frac{g\cdot h}{2}$
Her ser vi fort at $g=s$.
h kan vi bruke pytagoras for å finne ved å legge merke til at medianen som danner høyden, deler s i 2.
høyden vil derfor være
$h=sqrt{s}^2-\frac{s^2}{2^2}$
$h=sqrt\frac{3\cdot s^2}{4}$
$h=s\frac{\sqrt{3}}{2}$
Setter deretter inn dette for h:
$A=\frac{g\cdot h}{2}=\frac{s\cdot s\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{s^2\cdot \sqrt{3}}{4}$

Edit: Litt sen der

[Vektormannen]

Din var mye mer elegant da

Skjønner ikke helt hva jeg blandet inn 30-60-90-trekanter for.

[Klaus Knegg]

Tok jo egentlig utgangspunkt i det samme som din, bare at jeg så på trekanten som en helhet i stedet for å summere de to deltrekantene : )
Man kunne jo også trukket inn arealsetningen og brukt at $sin60=\frac{sqrt3}{2}$, men også beviset for dette tar jo utgangspunkt i det samme som vi gjorde for å regne ut høyden

[magneam]

En kan også finne høyden h ved å observere at alle vinklene i trekanten er 60 grader. Får dermed at

$sin60=\frac{h}{s}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{s}$
$h=\frac{\sqrt{3}s}{2}$

Edit: Doh! Too late