Laboratoriet MedTest får en dag tilsendt blodprøver fra 20 personer. Vi forutsetter at de 20 personene er et tilfeldig utvalg av hele befolkningen, og at 1 % av befolkningen lider av en bestemt sykdom. Hvis en blodprøve inneholder et bestemt stoff, som vi kaller Q, lider personen av
sykdommen. Vi forutsetter at laboratoriet kan avgjøre helt sikkert om en blodprøve inneholder Q, og at personen helt sikkert er syk hvis blodprøven
inneholder Q.
a) Hva er sannsynligheten for at ingen av de 20 blodprøvene inneholder Q? Hva er sannsynligheten for at høyst to av prøvene inneholder stoffet?
Her fikk jeg til svar:
Sannsynligheten for at ingen av de 20 blodprøvene inneholder Q: 0.818
Sannsynligheten for at høyst to av prøvene inneholder stoffet: 0.016
For å analysere blodprøvene går laboratoriet fram på følgende måte:
Hver blodprøve deles i to deler – en A-prøve og en B-prøve.
De 20 A-prøvene blandes sammen og analyseres under ett.
Hvis den samlede A-prøven for de 20 personene ikke inneholder Q, lider ingen av personene av den aktuelle sykdommen. Da er det ikke nødvendig å analysere B-prøvene. Det er altså nok med én analyse.
Hvis den samlede A-prøven inneholder Q, lider minst én av de 20 personene av sykdommen. Da må laboratoriet i tillegg analysere hver av de 20 B-prøvene, for å finne ut hvem som er syk(e). Det må altså gjennomføres 21 analyser.
Antall analyser X som laboratoriet må utføre for å undersøke 20 blodprøver, er en stokastisk variabel.
b) Vis at sannsynlighetsfordelingen til X er gitt ved
x 1 21
(PX=x) 0,818 0,182
Sliter litt med resten nå. Vet ikke helt hva jeg skal gjøre (!)
c) Bestem forventningsverdien og standardavviket til X.
Laboratoriesjefen ønsker å finne ut om MedTest har mindre utgifter ved å bruke framgangsmåten ovenfor, i forhold til å analysere hver av de opprinnelige blodprøvene for seg (dvs. uten å dele dem i en A-prøve og en B-prøve). Hun kartlegger omkostningene ved de ulike trinnene i analysen, og finner at
det koster 20 kroner å dele én blodprøve i en A-prøve og en B-prøve
det koster 50 kroner å analysere en prøve (uansett om det er en av de opprinnelige blodprøvene, den samlede A-prøven, eller en av B-prøvene)
d) Forklar at det koster
Y = 400+50X
kroner å analysere prøvene med den framgangsmåten MedTest bruker. Bestem forventningsverdien og standardavviket til Y.
e) Vurder om MedTest bør holde fast ved den framgangsmåten de bruker for å analysere prøvene, eller om de bør gå over til å analysere de opprinnelige blodprøvene hver for seg.
I løpet av ett år er det 250 arbeidsdager. Vi tenker oss at MedTest får tilsendt 20 blodprøver hver av disse dagene.
f) Laboratoriet vil undersøke hvor mye de sparer i løpet av året ved sin framgangsmåte i forhold til om de opprinnelige blodprøvene hadde blitt analysert hver for seg. Hva er sannsynligheten for at de sparer minst 100 000 kroner, dvs. i gjennomsnitt minst 400 kroner per dag?
Noen som har løst denne eksamensoppgaven før? Hadde vert kjekt med litt veiledning. Takk!
Sannsynlighet 3MX
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
