Derivasjons spørsmål (dy/dx?)

[Heruwar]

Oppgave 1:
En sirkel er gitt ved likningen [tex]x^2+y^2-4x+2y=0[/tex] (se fig.)



1) Finn [tex]y\prime=\frac{dy}{dx}[/tex] og [tex]y\prime\prime=\frac{d^2y}{d^2x}[/tex] i punktet [tex](0,0)[/tex]

2) Sirkelen er banen til en partikkel. I punktet [tex](0,0)[/tex] på kurven er hastigheten i x-retningen, [tex]\frac{dx}{dt}[/tex] , lik 2 m/s. Finn farten i y-retningen og partikkelens totale fart.

Problemet: Jeg aner ikke hvordan jeg skal finne [tex]y\prime[/tex] når oppgaven blir gitt slik. Skal jeg flytte over [tex]+2y[/tex] etc, slik at jeg får [tex]\frac{x^2+y^2-4x}{2}=y[/tex], og så finne [tex]y\prime[/tex]?

I såfall ender jeg opp med [tex]y\prime = 2[/tex] og [tex]y\prime\prime =-2[/tex] ved å sette inn [tex]0[/tex] i stedet for [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] i den deriverte og dobbel-deriverte likningen.

Dersom det faktisk skulle være riktig, er det da riktig å se på [tex]\frac{dy}{dt}[/tex] som farten i y-retning?

Og et lite problem til slutt:
[tex]f(x)=arctan(sin x)[/tex], finn [tex]f\prime[/tex], har aldri sett noen oppgave med derivasjon av arctan før, og finner heller ikke noen regel for det i regelboka mi

Tusen takk for all hjelp og hint om hvordan man løser disse!

[Magnus]

Slå opp i boka di på implisitt derivasjon, og titt på eksemplene.

[Olorin]

Generell derivasjonsregel for arctan(x):

[tex](\arctan x)^\prime=\frac1{1+x^2}[/tex]

[Heruwar]

Har lest litt om det nå, sto blandt annet at

[tex]x^2+y^2=100[/tex]
kunne skrives som
[tex]2x+2y\frac{dy}{dx}=0[/tex]
Skjønte ikke helt hvordan [tex]\frac{dy}{dx}[/tex] kommer inn her
...
Men uansett blir det kanskje riktig å si at
[tex]x^2+y^2-4x+2y=0[/tex]
kan skrives som
[tex]2x+2y\frac{dy}{dx}-4+2=0[/tex]
?
Kun dette og et annet eksempel i boka som også er på engelsk

PS: Takk for arctan regel \o/

[Bogfjellmo]

Har lest litt om det nå, sto blandt annet at

[tex]x^2+y^2=100[/tex]
kunne skrives som
[tex]2x+2y\frac{dy}{dx}=0[/tex]
Skjønte ikke helt hvordan [tex]\frac{dy}{dx}[/tex] kommer inn her
...
Men uansett blir det kanskje riktig å si at
[tex]x^2+y^2-4x+2y=0[/tex]
kan skrives som
[tex]2x+2y\frac{dy}{dx}-4+2=0[/tex]
?
Kun dette og et annet eksempel i boka som også er på engelsk

PS: Takk for arctan regel \o/

Ikke helt, du har jo en til y der.

En måte du kan tenke på, er at du antar at y er en (ikke eksplisitt gitt) funksjon av x, dvs y = y(x), og så deriverer du med hensyn på x på begge sider av uttrykket (kjerneregelen er ofte nyttig).