Epsilon-delta bevis, kontinunerlige funksjoner

[Markonan]

Skal bevise at hvis f og g er kontinuerlige funksjoner, så er også fg kontinuerlig.

Vi definerer $fg:E\to \text{bb}F$ ved
$(fg)(t)=f(t)g(t)$ for alle $t\in E$
(F er en ordnet kropp og E er en delmengde av F).

Bevis
$|(fg)(x)-(fg)(a)|=|f(x)g(x)-f(a)g(a)|=$

Legger til og trekker fra f(x)g(a)
$|f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)|\le$

Bruker trekantulikheten
$\le |f(x)g(x)-f(x)g(a)|+|f(x)g(a)-f(a)g(a)|=$

Faktoriserer, og får
$|f(x)||g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)|$

Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
${\delta }_1$ slik at $|f(x)-f(a)|<1$
som gir $|f(x)|<M$ (fordi f er kontinuerlig, har |f(x)| en øvre grense.

${\delta }_2$ slik at $|g(x)-g(a)|<\frac{ϵ}{2M}$

${\delta }_3$ slik at $|f(x)-f(a)|<\frac{ϵ}{2(|g(a)|+1)}$

Tar vi til slutt $\delta =min({\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3)$
Får vi:
$|f(x)||g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)|<$

$M\cdot \frac{ϵ}{2M}+(|g(a)|+1)\cdot \frac{ϵ}{2(|g(a)|+1)}=\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$

Og beviset er fullført.

[nybegynner]

Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
${\delta }_1$ slik at $|f(x)-f(a)|<1$
som gir $|f(x)|<M$ (fordi f er kontinuerlig, har |f(x)| en øvre grense.

Hva skjer hvis du setter $E=[0,\mathrm{\infty })$ og $f(x)=x$?
Har $f$ en øvre grense?

[Markonan]

Ah, det var kanskje en litt lettvint antagelse.

Takk for at du tok deg tid til å lese gjennom. Skal ta en titt på det etter jeg har gjort det jeg må gjøre.

[sEirik]

Jeg gjorde vel noe sånt som å finne en $\delta$ slik at $|f(x)|\le 2|f(a)|$ når $|x-a|<\delta$. Altså, i stedet for å bruke M.

Eller var det $2|f(a)|+1$ jeg brukte kanskje? Eller bare $|f(a)|+1$? Jeg kan jo alltids gå og se etter.

[Markonan]

Skal bevise at hvis f og g er kontinuerlige funksjoner, så er også fg kontinuerlig.

Vi definerer $fg:E\to \text{bb}F$ ved
$(fg)(t)=f(t)g(t)$ for alle $t\in E$
(F er en ordnet kropp og E er en delmengde av F).

Bevis
$|(fg)(x)-(fg)(a)|=|f(x)g(x)-f(a)g(a)|=$

Legger til og trekker fra f(x)g(a)
$|f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)|\le$

Bruker trekantulikheten
$\le |f(x)g(x)-f(x)g(a)|+|f(x)g(a)-f(a)g(a)|=$

Faktoriserer, og får
$|f(x)||g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)|$

Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
${\delta }_1$ slik at $|g(x)-g(a)|<\frac{ϵ}{2(|f(x)|+1)}$

${\delta }_2$ slik at $|f(x)-f(a)|<\frac{ϵ}{2(|g(a)|+1)}$

Uansett hvilke funksjoner og verdier vi velger så vil
$|f(x)|<|f(x)|+1$ og

$|g(a)|<|g(a)|+1$

Tar vi til slutt $\delta =min({\delta }_1,{\delta }_2)$
Får vi:
$|f(x)||g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)|<$

$(|f(x)|+1)\cdot \frac{ϵ}{2(|f(x)|+1)}+(|g(a)|+1)\cdot \frac{ϵ}{2(|g(a)|+1)}=\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$

Og beviset er fullført.

----------------------------------
Glemte denne litt bort. Ser dette riktig ut, eller bør jeg stille meg i skammekroken?