Grenseverdier

[Wentworth]

[tex]\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln(1+\frac{t}{2}) =\lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}} \cdot h)^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{t}{2}}= e^{\frac{1}{2}}[/tex] Mener du slik ?

[Vektormannen]

Nei, nå datt jeg litt av her. Det jeg mener er når du går fra [tex]\lim_{t \to 0} e^{\frac{1}{t}\ln(1+\frac{t}{2})}[/tex] til [tex]e^{\frac{1}{2}}[/tex]. Du viser ingenting mellom der, og det er jo langt fra åpenbart at eksponenten blir 1/2.

[Wentworth]

Jeg vet ikke hva som skjer mellom der,vet du det?

Eller kan den som vet vise det?

[zell]

L'Hôpitals regel.

[tex]\lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{\ln{(1+\frac{t}{2})}}{t} \rightarrow 0/0[/tex]

Når man får et 0/0-uttrykk kan man anvende L'Hôpitals regel, som sier at du kan derivere teller og nevner for seg. Vi prøver.

[tex]\lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1}{1 + \frac{t}{2}} \ \cdot \ \frac{1}{2}}{1} = \lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{1}{2+t} = \frac{1}{2}[/tex]

Dermed får du at grenseverdien går mot [tex]e^{\frac{1}{2}}[/tex]

[Wentworth]

Da kom jeg fram til at ;

[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+{\frac{t}{2}})=\lim_{t\rightarrow0}e^{ln(1+{\frac{t}{2}})}^{\frac{1}{t}}=\lim_{t\rightarrow0}e^{{\frac{1}{t}}ln(1+{\frac{t}{2}})}[/tex]

Bruker L`hospitals regel fordi det er et 0/0 uttrykk og deriverer teller og nevner for deretter faktoriserer uttrykket;

[tex]\lim_{t\rightarrow0}\frac{ln(1+{\frac{t}{2}})}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{\frac{1}{1+\frac{t}{2}} \ \cdot \frac{1}{2}}{1}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{1}{2+t}}={\frac{1}{2}}[/tex]

Dermed [tex]e^{\frac{1}{2}}[/tex]

[Wentworth]

L'Hôpitals regel.

[tex]\lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{\ln{(1+\frac{t}{2})}}{t} \rightarrow 0/0[/tex]

Når man får et 0/0-uttrykk kan man anvende L'Hôpitals regel, som sier at du kan derivere teller og nevner for seg. Vi prøver.

[tex]\lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1}{1 + \frac{t}{2}} \ \cdot \ \frac{1}{2}}{1} = \lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{1}{2+t} = \frac{1}{2}[/tex]

Dermed får du at grenseverdien går mot [tex]e^{\frac{1}{2}}[/tex]

Nøyaktig hvordan forenkler du det første til det andre her [tex]\lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1}{1 + \frac{t}{2}} \ \cdot \ \frac{1}{2}}{1} = \lim_{t\rightarrow 0} \ \frac{1}{2+t}[/tex] ?

[groupie]

Elementært:

[tex]\frac{\frac{1}{1 + \frac{t}{2}} \ \cdot \ \frac{1}{2}}{1} = \frac{\frac{1}{2\cdot(1+\frac{t}{2})}}{1}= \frac{\frac{1}{2+t}}{1}= \frac{1}{2+t}[/tex]

[Wentworth]

Elementært:

[tex]\frac{\frac{1}{1 + \frac{t}{2}} \ \cdot \ \frac{1}{2}}{1} = \frac{\frac{1}{2\cdot(1+\frac{t}{2})}}{1}= \frac{\frac{1}{2+t}}{1}= \frac{1}{2+t}[/tex]

Til :beatnik